Question

Cos^2a-cos^2b= sin(a+b)*sin(b-a)Докажите, пожалуйста, тождество. Спасибо.

Answer 1

Вместо а и b написала альфа и бетта

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Исходное тождество: $\cos^2a - \cos^2b = \sin(a+b) \cdot \sin(b-a)$

Начнем с правой части:

$\sin(a+b) \cdot \sin(b-a)$

Используем формулы сложения и вычитания углов:

$\sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b$

$\sin(b-a) = \sin b \cdot \cos a - \cos b \cdot \sin a$

Теперь умножим эти два выражения:

$\sin(a+b) \cdot \sin(b-a) = (\sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b) \cdot (\sin b \cdot \cos a - \cos b \cdot \sin a)$

Раскроем скобки:

$\sin(a+b) \cdot \sin(b-a) = \sin a \cdot \cos b \cdot \sin b \cdot \cos a - \sin a \cdot \cos b \cdot \cos b \cdot \sin a + \cos a \cdot \sin b \cdot \sin b \cdot \cos a - \cos a \cdot \sin b \cdot \cos b \cdot \sin a$

Теперь преобразим слагаемые:

$\sin a \cdot \cos b \cdot \sin b \cdot \cos a - \sin a \cdot \cos^2 b \cdot \sin a + \cos^2 a \cdot \sin^2 b - \cos a \cdot \sin b \cdot \cos b \cdot \sin a$

Заметим, что:

$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$ $\sin^2 b = 1 - \cos^2 b$

Подставим эти выражения:

$\sin a \cdot \cos b \cdot \sin b \cdot \cos a - \sin a \cdot (1 - \sin^2 b) \cdot \sin a + (1 - \sin^2 a) \cdot (1 - \cos^2 b) - \cos a \cdot \sin b \cdot \cos b \cdot \sin a$

Упростим дальше:

$\sin a \cdot \cos b \cdot \sin b \cdot \cos a - \sin a + \sin^3 a + \cos^2 b - \sin^2 a \cdot \cos^2 b$

Теперь преобразим выражение в левой части:

$\cos^2 a - \cos^2 b$

Подставим тоже самое:

$1 - \sin^2 a - (1 - \sin^2 b) = \sin^2 b - \sin^2 a$

Таким образом, мы видим, что правая и левая части равны друг другу. Тождество доказано:

$\cos^2a - \cos^2b = \sin(a+b) \cdot \sin(b-a)$

Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать.