Question

Помогите найти производную e^(tg5x)*sin^5(x+5)

Answer 1

$y=e^{tg5x}\cdot sin^5(x+5)\\\\(uv)'=u'v+uv'\\\\y'=e^{tg5x}\cdot \frac{1}{cos^25x}\cdot 5\cdot sin^5(x+5)+e^{tg5x}\cdot 5sin^4(x+5)\cdot cos(x+5)$

Answer 2

Давайте найдем производную функции $e^{\tan(5x)} \cdot \sin^5(x + 5)$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования.

Для удобства обозначим данную функцию как $y(x) = e^{\tan(5x)} \cdot \sin^5(x + 5)$.

Сначала найдем производную $y$ по переменной $x$, используя правило производной произведения (производная произведения двух функций равна произведению производных этих функций):

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(e^{\tan(5x)}\right) \cdot \sin^5(x + 5) + e^{\tan(5x)} \cdot \frac{d}{dx} \left(\sin^5(x + 5)\right)$$

Теперь найдем производные каждого из слагаемых:

1. Производная $e^{\tan(5x)}$ по переменной $x$:

Для этой части нам потребуется использовать цепное правило. Пусть $u = \tan(5x)$, тогда $e^u$ имеет производную $\frac{du}{dx} = 5\sec^2(5x)$. Теперь мы можем применить цепное правило:

$$\frac{d}{dx}\left(e^{\tan(5x)}\right) = \frac{d}{du}\left(e^u\right) \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 5\sec^2(5x) = 5e^{\tan(5x)}\sec^2(5x)$$

2. Производная $\sin^5(x + 5)$ по переменной $x$:

Для этой части мы используем степенное правило. Пусть $v = x + 5$, тогда $\sin^5(v)$ имеет производную $\frac{dv}{dx} = 1$, и мы применяем степенное правило:

$$\frac{d}{dx}\left(\sin^5(x + 5)\right) = 5\sin^4(x + 5) \cdot \frac{d}{dx}(x + 5) = 5\sin^4(x + 5)$$

Теперь мы можем собрать все вместе:

$$\frac{dy}{dx} = 5e^{\tan(5x)}\sec^2(5x) \cdot \sin^5(x + 5) + 5\sin^4(x + 5)$$

Это и есть производная функции $y(x)$ по переменной $x$:

$$\frac{dy}{dx} = 5e^{\tan(5x)}\sec^2(5x) \cdot \sin^5(x + 5) + 5\sin^4(x + 5)$$