Question

Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма ее членов равна 18. Найдите третий член прогрессии.​

Answer 1

По условию:

b₁-b₂=8

Так как b₂=b₁·q, то

b₁-b₁·q=8

b₁·(1-q)=8

S=b₁/(1-q)

18=b₁/(1-q)

Cистема двух уравнений с двумя переменными:

{b₁·(1-q)=8

{18=b₁/(1-q)   ⇒  b₁=18·(1-q)  и подставляем в первое уравнение

18·(1-q) ·(1-q)=8  ⇒ (1-q)²=4/9  ⇒

1-q=2/3   или    1- q=-2/3

q=1/3       или    q=5/3 > 1 противоречит тому, что прогрессия убывающая

b₁=18·(1-q)=18·2/3=12

b₃=b₁·q²=12·(1/3)²=12/9=4/3

О т в е т. b₃=4/3

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а второй член как "ar", где "r" - это знаменатель прогрессии (отношение каждого члена к предыдущему члену).

Согласно условию, первый член больше второго на 8: a = ar + 8

Сумма членов прогрессии равна 18: a + ar = 18

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. a = ar + 8
2. a + ar = 18

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из уравнения (1) выразим "a" через "r": a = ar + 8

Теперь подставим это выражение в уравнение (2): (ar + 8) + ar = 18

Раскроем скобки: 2ar + 8 = 18

Выразим 2ar: 2ar = 18 - 8 2ar = 10

Теперь разделим обе стороны на 2: ar = 5

Теперь у нас есть значение "ar". Теперь мы можем найти "a" снова, используя уравнение (1): a = ar + 8 a = 5 + 8 a = 13

Теперь мы знаем первый член "a" и знаменатель "r" геометрической прогрессии. Чтобы найти третий член прогрессии, умножим второй член (ar) на "r" ещё раз:

Третий член (a3) = (ar) * r Третий член (a3) = 5 * 5 Третий член (a3) = 25

Итак, третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 25.