Question

Решите уравнение |x-4|+x*|x-4|+x+1=0

Answer 1

$|x-4|+x\cdot |x-4|+x+1=0$

1) пусть $x \geq 4$, значит под модулем не отрицательное число, поэтому модуль можно просто опустить

$x-4+x\cdot(x-4)+x+1=0\\ x^2-2x-3=0\\ D=4+12=16\\ \\ x_1= \dfrac{2+4}{2} =3;\quad x_2= \dfrac{2-4}{2} =-1$

оба корня не удовлетворяют условию $x \geq 4$, значит они не являются решением

2) пусть $x<4$ , значит под модулем отриц.число, поэтому когда будем раскрывать модуль , будем менять знак
$-x+4+x\cdot (-x+4)+x+1=0\\ x^2-4x-5=0\\ D=16+20=36\\ \\ x_1= \dfrac{4+6}{2}=5;\quad x_2= \dfrac{4-6}{2}=-1$

условию $x<4$ удовлетворяет только второй корень, значит ответ х=-1

Answer 2

Давайте решим уравнение подробно.

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

|x-4| + x*|x-4| + x + 1 = 0

Для начала, давайте заменим выражение |x-4| на новую переменную, скажем y. Тогда у нас получится следующее:

y + xy + x + 1 = 0

Теперь давайте разделим это уравнение на x, чтобы избавиться от одного из слагаемых с x:

y/x + y + 1 + 1/x = 0

Теперь давайте заменим выражение y/x на новую переменную, скажем z:

z + y + 1 + 1/x = 0

Теперь мы можем выразить z через y и x:

z = -y - 1 - 1/x

Теперь давайте вернемся к нашему выражению y, которое мы заменили на |x-4|:

y = |x-4|

Теперь мы можем заменить y в нашем выражении для z:

z = -|x-4| - 1 - 1/x

Заметим, что выражение -|x-4| всегда будет отрицательным или равным нулю. Поэтому, чтобы уравнение z = -|x-4| - 1 - 1/x было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы остальные слагаемые в нем также были равны нулю:

|x-4| = 0 -1 - 1/x = 0

Для первого уравнения, |x-4| = 0, решением будет x = 4.

Для второго уравнения, -1 - 1/x = 0, мы можем умножить обе части на x, чтобы избавиться от дроби:

-1x - 1 = 0

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

-1x = 1

И наконец, умножим обе части на -1, чтобы получить x:

x = -1

Таким образом, уравнение |x-4| + x*|x-4| + x + 1 = 0 имеет два решения: x = 4 и x = -1.