Question

Построить график функции и записать её свойства: y = x² - 2|x| + 2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

функция четная у(-х)=у(х)

график симметричен относительно оси ОУ

достаточно построить для x≥0 и симмтрично отобразить относительно оси ОУ

y = x² - 2|x| + 2

1) при x≥0 ; |x| =x

y = x² - 2x + 2

вершина х₀=-b/2a=2/2=1

y₀=y(1)=1-2+2=1   (1;1)

точка пересечения с осью Oy  x=0 y=2 (0;2)

так как парабола симметрична относительно прямой х= х₀

то симметричная этой точке будет (2;2)

2) строим график для x≥0 по трем точкам  (1;1) - вершина;  (0;2) ;  (2;2)

3) симметрично отображаем относительно оси ОУ

4) свойства функции

Область определения D(y)=R

множество значений E(y)=[1;+∞)

четная

монотонная

всегда положительная

нулей нет

точки экстремума -1;1

экстремумы 1;1

Answer 2

Давайте начнем с построения графика функции $y = x^2 - 2|x| + 2$.

Чтобы лучше понять, как она выглядит, разобьем ее на части, учитывая, что $|x|$ принимает значение $x$ при $x \geq 0$ и $-x$ при $x < 0$:

1. Когда $x \geq 0$:

   • В этом случае $|x| = x$, и функция становится $y = x^2 - 2x + 2$.

2. Когда $x < 0$:

   • В этом случае $|x| = -x$, и функция становится $y = x^2 + 2x + 2$.

Теперь мы можем построить график этих двух частей и объединить их.

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Задаем область определения
x_positive = np.linspace(0, 5, 400)
x_negative = np.linspace(-5, 0, 400)

# Функция для случая x >= 0
y_positive = x_positive**2 - 2*x_positive + 2

# Функция для случая x < 0
y_negative = x_negative**2 + 2*x_negative + 2

# Строим график
plt.plot(x_positive, y_positive, label=r'$y = x^2 - 2x + 2$ для $x \geq 0$')
plt.plot(x_negative, y_negative, label=r'$y = x^2 + 2x + 2$ для $x < 0$')

# Добавляем описание
plt.title('График функции y = x^2 - 2|x| + 2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

# Отображаем график
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь давайте обсудим свойства этой функции:

1. Домен: Функция $y = x^2 - 2|x| + 2$ определена для всех вещественных чисел $x$.

2. Область значений: Функция может принимать любое вещественное значение.

3. Симметрия: Функция симметрична относительно оси $y$, так как $x^2$ - четная функция, а $-2|x|$ и $+2$ - не зависят от $x$.

4. Экстремумы: Функция не имеет экстремумов, так как она представляет собой параболу, направленную вверх.

5. Нули функции: Нули функции можно найти, приравняв $y$ к нулю и решив уравнение $x^2 - 2|x| + 2 = 0$.

6. Поведение на бесконечности: При $x$ стремящемся к бесконечности, $x^2$ также стремится к бесконечности, а $-2|x|$ к нулю, поэтому функция уходит в бесконечность.

7. Пересечение с осями: Функция пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$. Ось $x$ пересекается, как было показано в предыдущем пункте.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще какие-то вопросы, пожалуйста, дайте знать.