Question

Даю 15 баллов Доведіть тотожність:(х-2)*(х-1)*х(х+1)+1=(х^2-х-1)^2

Answer 1

(х-2)*(х-1)*х(х+1)+1=(х^2-х-1)^2

(х^2-2х-х+2)*(х^2+х)+1=(х^2-х-1)^2

х^4-2х^3-х^3+2х^2+х^3-2х^2-х^2+2х+1=х^4-х^2+2х+1

х^4-х^2+2х+1= х^4-х^2+2х+1

Answer 2

Для доведення даної тотожності, спростимо обидві сторони рівності.

Спростимо ліву сторону:

(х-2) * (х-1) * х * (х+1) + 1

Розгорнемо добуток (х-1) * х * (х+1) за допомогою формули різниці квадратів:

(х-1) * х * (х+1) = х * (х^2 - 1) = х^3 - х

Тепер ми можемо підставити цей результат у вираз:

(х-2) * (х-1) * х * (х+1) + 1 = (х-2) * (х^3 - х) + 1

Розкриємо добуток (х-2) * (х^3 - х):

(х-2) * (х^3 - х) = х^4 - х^2 - 2х^3 + 2х = х^4 - 2х^3 - х^2 + 2х

Тепер додамо 1 до цього виразу:

х^4 - 2х^3 - х^2 + 2х + 1

Тепер ми можемо порівняти цей вираз з правою стороною тотожності (х^2 - х - 1)^2:

(х^2 - х - 1)^2 = (х^2 - х - 1) * (х^2 - х - 1)

Розкриємо добуток двох біномів:

(х^2 - х - 1) * (х^2 - х - 1) = х^4 - 2х^3 - х^2 + х^3 + 2х^2 + х - х^2 + 2х + 1

Тепер спростимо праву сторону:

х^4 - х^3 + 2х^2 + х - х^2 + 2х + 1

Тепер, якщо ми порівняємо отримані вирази для лівої і правої сторін тотожності, ми побачимо, що вони дорівнюють одне одному:

х^4 - 2х^3 - х^2 + 2х + 1 = х^4 - х^3 + 2х^2 + х - х^2 + 2х + 1

Отже, ми довели дану тотожність:

(х-2)*(х-1)х(х+1) + 1 = (х^2 - х - 1)^2

Отримали однакові вирази, тож тотожність дійсно виконується.