Question

!СРОЧНО! Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019?

Answer 1

$1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 2019=2019!$

Найдем сколько раз приходится число 2 в факториал 2019

$\Big[\dfrac{2019}{2}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{4}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{8}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{16}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{32}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{64}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{128}\Big]+\\ \\ \\ +\Big[\dfrac{2019}{256}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{512}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{1024}\Big]=1009+504+252+126+63+31+\\ \\ \\ +15+7+3+1=2011$

В разложении числа $2019!$ количество двоек - 2011.

Теперь подсчитаем количество пятерок в факториал 2019

$\Big[\dfrac{2019}{5}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{25}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{125}\Big]+\Big[\dfrac{2019}{625}\Big]=403+80+16+3=502$

Следовательно, $2019!=2^{2011}\cdot 5^{502}\cdot A=10^{502}\cdot 2^{1509}\cdot A$, где А - множитель. Отсюда видим, что произведение $1\cdot 2\cdot...\cdot 2019$ заканчивается 502 нулями.

Ответ: 502 нулями.

Answer 2

Произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019 можно записать как $2019!$ (2019 факториал). Факториал $n$ (обозначается как $n!$) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Таким образом:

$2019! = 2019 \times 2018 \times 2017 \times \ldots \times 2 \times 1$

Для определения количества нулей в конце факториала $2019!$, нужно найти, сколько раз произведение включает множитель 10, что эквивалентно нахождению количества пар множителей $2$ и $5$, так как $10 = 2 \times 5$. Поскольку в расширенном разложении числа в произведение простых множителей числа $2019!$ количество множителей $2$ всегда больше, чем количество множителей $5$, нам нужно найти количество множителей $5$.

Чтобы найти количество множителей $5$ в $2019!$, разделим $2019$ на $5$ и получим:

$\lfloor \frac{2019}{5} \rfloor = 403$

Это означает, что есть $403$ множителя $5$ в расширенном разложении числа $2019!$, которые дают $403$ нуля в конце произведения.

Однако, учтем, что некоторые числа включают несколько множителей $5$, например, $25 = 5 \times 5$, $125 = 5 \times 5 \times 5$, и так далее. Чтобы учесть это, разделим $2019$ на $25$:

$\lfloor \frac{2019}{25} \rfloor = 80$

Это дает нам $80$ дополнительных множителей $5$, которые дают $80$ дополнительных нулей.

Теперь учтем числа, которые включают $125 = 5 \times 5 \times 5$:

$\lfloor \frac{2019}{125} \rfloor = 16$

Это дает нам $16$ дополнительных множителей $5$, которые дают $16$ дополнительных нулей.

Итак, общее количество нулей в конце произведения $2019!$ - это сумма всех этих нулей:

$403 + 80 + 16 = 499$

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019 заканчивается $499$ нулями.