Question

Было на олимпиаде такое уравнение: (x+1)^99+(x+1)^98*(x+2)+...+(x+2)^99=0 Кто решит?

Answer 1

По свойству $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$(x+1)^{99}+(x+1)^{98}(x+2)+...+(x+2)^{99}=0\\ \\ \\ \dfrac{(x+1-(x+2))\Big((x+1)^{99}+(x+1)^{98}(x+2)+...+(x+2)^{99}\Big)}{x+1-(x+2)}=0\\ \\ \\ (x+2)^{100}-(x+1)^{100}=0\\ \\ (x+2)^{100}=(x+1)^{100}\\ \\ x+2=\pm (x+1)\\ \\ x+2=-x-1\\ \\ 2x=-3\\ \\ x=-\dfrac{3}{2}$

Ответ: -3/2.

Answer 2

Данное уравнение представляет собой сумму выражений вида $(x + 1)^n$ и $(x + 2)^n$, где $n$ изменяется от 98 до 99. Обратите внимание, что $x$ здесь является переменной, и у нас есть сумма множества мономов. Для решения такого уравнения обычно нужно преобразовать его, но для этой конкретной задачи у нас есть более удобный способ.

Заметим, что $x + 1$ и $x + 2$ являются общими множителями в каждом из слагаемых. Мы можем вынести их за скобки:

$(x + 1)^{99} + (x + 1)^{98}(x + 2) + \ldots + (x + 2)^{99} = 0$

Теперь мы можем ввести новую переменную, скажем, $y = x + 1$. Тогда уравнение становится:

$y^{99} + y^{98}(y + 1) + \ldots + (y + 1)^{99} = 0$

Теперь мы видим, что это уравнение является многочленом от $y$, который можно решить стандартными методами. Однако степень этого многочлена равна 99, и аналитическое решение может быть довольно сложным. Для решения таких уравнений обычно используют численные методы или компьютерные программы.

Если вы хотите найти численное приближенное решение этого уравнения, вы можете использовать программу для символьной или численной математики, такую как MATLAB, Mathematica, Python с библиотекой SymPy или SciPy.