Question

Помогите, решите в тетради!!!(2-x^2)(x-3)^2/(x+1)(x2-3x-4)больше или равно 0

Answer 1

Ну вот, вроде так.

Если не ошибаюсь, на 1 курсе так ещё решали

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала определим критические точки и интервалы, на которых оно выполняется.

1. Найдем критические точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль:

   a) Числитель: (2 - x^2)(x - 3)^2 = 0 Начнем с (2 - x^2) = 0: 2 - x^2 = 0 x^2 = 2 x = ±√2

   Теперь (x - 3)^2 = 0: x - 3 = 0 x = 3

   b) Знаменатель: (x + 1)(x^2 - 3x - 4) = 0 Попробуем разложить x^2 - 3x - 4 на множители: x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)

   Теперь у нас есть две критические точки: x = -1 и x = 4

2. Теперь определим интервалы, на которых будем проверять знак неравенства. Для этого построим числовую прямую и пометим на ней критические точки (-1, √2, 3, 4):

   -∞ -1 √2 3 4 +∞

3. Теперь проверим знак выражения (2 - x^2)(x - 3)^2/(x + 1)(x^2 - 3x - 4) на каждом интервале между критическими точками.

   a) (-∞, -1): Выберем x = -2 (в этом интервале). Подставляем в выражение: (2 - (-2)^2)(-2 - 3)^2/(-2 + 1)((-2)^2 - 3(-2) - 4) (2 - 4)(-5)^2/(-1)(4 + 6 - 4) (-2)(25)/(-1)(6) (50)/6 > 0

   b) (-1, √2): Выберем x = 0 (в этом интервале). Подставляем в выражение: (2 - 0^2)(0 - 3)^2/(0 + 1)(0^2 - 3(0) - 4) (2 - 0)(-3)^2/(1)(0 - 0 - 4) (2)(9)/(1)(-4) (18)/(-4) < 0

   c) (√2, 3): Выберем x = 2 (в этом интервале). Подставляем в выражение: (2 - 2^2)(2 - 3)^2/(2 + 1)(2^2 - 3(2) - 4) (2 - 4)(-1)^2/(3 + 1)(4 - 6 - 4) (-2)(1)/(4)(-6) (-2)/(-24) > 0

   d) (3, 4): Выберем x = 3.5 (в этом интервале). Подставляем в выражение: (2 - 3.5^2)(3.5 - 3)^2/(3.5 + 1)(3.5^2 - 3(3.5) - 4) (2 - 12.25)(0.5)^2/(4.5)(12.25 - 10.5 - 4) (-10.25)(0.25)/(4.5)(-2.25) (-2.5625)/(-10.125) > 0

   e) (4, +∞): Выберем x = 5 (в этом интервале). Подставляем в выражение: (2 - 5^2)(5 - 3)^2/(5 + 1)(5^2 - 3(5) - 4) (2 - 25)(2)^2/(6)(25 - 15 - 4) (-23)(4)/(6)(6) (-92)/(36) < 0

Итак, мы нашли знак выражения на каждом интервале между критическими точками. Теперь объединим интервалы, на которых выражение больше или равно нулю:

Ответ: (-∞, -1) ∪ (√2, 3) ∪ (3, 4)