Question

Поможете решить? Решить уравнение, используя снижения порядка: y'''=e^2x

Answer 1

$\displaystyle y''=\int e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C_1\\ \\ y'=\int \left(\dfrac{1}{2}e^{2x}+C_1\right)dx=\dfrac{1}{4}e^{2x}+C_1x+C_2\\ \\ y=\int\left(\dfrac{1}{4}e^{2x}+C_1x+C_2\right)dx=\dfrac{1}{8}e^{2x}+\dfrac{C_1x^2}{2}+C_2x+C_3$

Answer 2

Для решения уравнения y''' = e^(2x) методом снижения порядка, мы сначала вводим замену переменной. Для этого обозначим y' как новую функцию u(x), а y'' как u'(x). Тогда уравнение y''' = e^(2x) можно переписать следующим образом:

u''(x) = e^(2x)

Теперь мы имеем уравнение второго порядка для функции u(x). Давайте его решим:

Для начала, найдем первообразную от e^(2x):

∫e^(2x) dx = (1/2)e^(2x) + C₁

Теперь у нас есть общее решение для u''(x):

u''(x) = (1/2)e^(2x) + C₁

Для нахождения частного решения, мы можем использовать метод вариации постоянных (подстановка):

u''(x) = (1/2)e^(2x) + C₁

Пусть u₁(x) будет частным решением этого уравнения. Давайте предположим, что u₁(x) имеет вид:

u₁(x) = A*e^(2x)

Тогда u₁'(x) = 2Ae^(2x) и u₁''(x) = 4Ae^(2x). Подставим это в уравнение:

4A*e^(2x) = (1/2)e^(2x) + C₁

Теперь сравним коэффициенты при e^(2x) с обеих сторон уравнения:

4A = 1/2, следовательно, A = 1/8

Теперь у нас есть частное решение u₁(x):

u₁(x) = (1/8)e^(2x)

Теперь мы можем найти y(x) с помощью обратной замены:

u(x) = y'(x) = (1/8)e^(2x)

Теперь найдем y(x) путем интегрирования:

y(x) = (1/8)∫e^(2x) dx = (1/8)*(1/2)e^(2x) + C₂ = (1/16)e^(2x) + C₂

Итак, общее решение уравнения y''' = e^(2x) будет выглядеть следующим образом:

y(x) = (1/16)e^(2x) + C₂

где C₂ - произвольная постоянная.