Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=-x^3-6x^2+36x-3 на промежутке [-7;-2]

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = -x^3 - 6x^2 + 36x - 3$ на заданном промежутке $[-7; -2]$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, где производная $y'$ равна нулю или не существует.

2. Определите значения $y$ в этих критических точках, а также на концах заданного интервала.

3. Найдите наибольшее и наименьшее из этих значений.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$:

$y'(x) = -3x^2 - 12x + 36$

Чтобы найти критические точки, решим уравнение $y'(x) = 0$:

$-3x^2 - 12x + 36 = 0$

Решение этого уравнения дает нам критические точки:

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Факторизуем уравнение:

$(x + 6)(x - 2) = 0$

Из этого получаем две критические точки $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Шаг 2: Теперь найдем значения $y$ в этих критических точках и на концах интервала $[-7; -2]$:

Для $x = -7$: $y(-7) = -(-7)^3 - 6(-7)^2 + 36(-7) - 3$

Для $x = -2$: $y(-2) = -(-2)^3 - 6(-2)^2 + 36(-2) - 3$

Для $x = -6$: $y(-6) = -(-6)^3 - 6(-6)^2 + 36(-6) - 3$

Для $x = 2$: $y(2) = -(2)^3 - 6(2)^2 + 36(2) - 3$

Шаг 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение из вычисленных значений:

Максимальное значение:

Максимальное значение функции на указанном интервале будет максимумом из $y(-7)$, $y(-2)$, $y(-6)$ и $y(2)$.

Минимальное значение:

Минимальное значение функции на указанном интервале будет минимумом из $y(-7)$, $y(-2)$, $y(-6)$ и $y(2)$.

Теперь вычислим эти значения:

Для $x = -7$: $y(-7) = -(-7)^3 - 6(-7)^2 + 36(-7) - 3 = -196$

Для $x = -2$: $y(-2) = -(-2)^3 - 6(-2)^2 + 36(-2) - 3 = 43$

Для $x = -6$: $y(-6) = -(-6)^3 - 6(-6)^2 + 36(-6) - 3 = -267$

Для $x = 2$: $y(2) = -(2)^3 - 6(2)^2 + 36(2) - 3 = 31$

Теперь найдем наибольшее и наименьшее из этих значений:

Наибольшее значение: 43

Наименьшее значение: -267

Итак, наибольшее значение функции $y$ на интервале $[-7; -2]$ равно 43, а наименьшее значение равно -267.