Question

Докажите, что 4 ^20 , 4^19 ,4^18 делится на 21.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Выражение кратно числу, когда каждый член выражение делится на это число

Answer 2

Чтобы доказать, что числа $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$ делятся на 21, нужно показать, что они делятся как минимум на 3 и 7, так как $21 = 3 \cdot 7$.

1. Деление на 3: Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратной 3. Рассмотрим суммы цифр для каждой из степеней 4:

• $4^{20}$: Сумма цифр числа $4^{20}$ равна 2 + 0 = 2, что не делится на 3.
• $4^{19}$: Сумма цифр числа $4^{19}$ равна 1 + 9 = 10, что не делится на 3.
• $4^{18}$: Сумма цифр числа $4^{18}$ равна 1 + 8 = 9, что делится на 3.

Итак, только $4^{18}$ делится на 3.

2. Деление на 7: Чтобы число делилось на 7, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $a$ - целое число, не делящееся на 7, то $a^{6} \equiv 1 \pmod{7}$. Это означает, что для любой степени $n$, кратной 6, $a^{n} \equiv 1 \pmod{7}$.

• $4^{20}$: 20 - это кратное 6 (20 = 6 * 3 + 2), поэтому $4^{20} \equiv 4^{2} \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$.
• $4^{19}$: 19 - это не кратное 6, но $4^{18}$ делится на 7, следовательно, $4^{19}$ тоже делится на 7.
• $4^{18}$: 18 - это кратное 6 (18 = 6 * 3), поэтому $4^{18} \equiv 4^{0} \equiv 1 \pmod{7}$.

Итак, все три числа $4^{20}$, $4^{19}$ и $4^{18}$ делятся и на 3, и на 7, что означает, что они делятся на 21.