Question

Найти точки экстремума функции f(х) = х³ – 6х² + 9х Даю 50 баллов

Answer 1

Минимум:(3;0)
Максимум:(1;4)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x³ - 6x² + 9x сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы будем анализировать вторую производную, чтобы определить тип экстремума в каждой из критических точек.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x² - 12x + 9.

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек: 3x² - 12x + 9 = 0.

Это квадратное уравнение. Давайте решим его с помощью квадратного уравнения:

Делим все члены уравнения на 3: x² - 4x + 3 = 0.

Факторизуем уравнение: (x - 3)(x - 1) = 0.

Теперь находим значения x, соответствующие критическим точкам: x₁ = 3 и x₂ = 1.

3. Теперь найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = 6x - 12.

4. Оценим тип экстремума в каждой критической точке, анализируя знак второй производной:

• В точке x₁ = 3: f''(3) = 6 * 3 - 12 = 18 - 12 = 6 (положительное значение). Это означает, что в точке x₁ у нас есть минимум.
• В точке x₂ = 1: f''(1) = 6 * 1 - 12 = 6 - 12 = -6 (отрицательное значение). Это означает, что в точке x₂ у нас есть максимум.

Итак, у нас есть две точки экстремума функции f(x):

1. Минимум в точке (3, f(3)): x = 3, f(3) = 3³ - 6 * 3² + 9 * 3 = 27 - 54 + 27 = 0.

2. Максимум в точке (1, f(1)): x = 1, f(1) = 1³ - 6 * 1² + 9 * 1 = 1 - 6 + 9 = 4.

Таким образом, точка (3, 0) - это минимум, а точка (1, 4) - это максимум функции f(x).