Question

Найти экстремумы функции :f(x)=e^x(2x-3)

Answer 1

f(x)=e^x(2x-3)
f'(x) = e^x (2x -3) + e^x *2 = e^x(2x -3 +2) = e^x (2x -1)
e^x(2x -1) = 0
e^x ≠ 0 , ⇒ 2x -1 = 0
                   2x = 1
                    x = 0,5
-∞          0,5             +∞
      -                 +           это знаки производной
х = 0,5 - это точка минимума
(-∞; 0,5) на этом промежутке данная функция убывает
(0,5;+∞) на этом промежутке данная функция возрастает.

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции f(x)=e^x(2x-3), мы сначала найдем ее производную.

f'(x) = e^x(2x-3) + e^x(2) = e^x(2x-1)

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

e^x(2x-1) = 0

Это уравнение равно нулю только тогда, когда e^x = 0 или 2x-1 = 0. Так как e^x всегда положительно, то уравнение e^x = 0 не имеет решений. Поэтому мы решаем уравнение 2x-1 = 0:

2x = 1 x = 1/2

Теперь найдем вторую производную функции:

f''(x) = e^x(2x-1) + e^x(2) = e^x(2x+1)

Теперь определим значение второй производной в точке x=1/2:

f''(1/2) = e^(1/2)(2*(1/2)+1) = e^(1/2)(1+1) = 2e^(1/2) > 0

Так как вторая производная положительна в точке x=1/2, то это значит, что функция имеет локальный минимум в этой точке.

Следовательно, экстремум функции f(x)=e^x(2x-3) - это локальный минимум в точке x=1/2.