Question

Помогите пожалуйста log^4(16-х^2) наибольшее значение функции на промежутке [0, √7]

Answer 1

Область определения:

16-x²>0  ⇒  -4 < x < 4

[0;√7]⊂(-4;4)

$y`=\frac{1}{(16-x^2)ln4}\cdot (16-x^2)`$

$y`=\frac{-2x}{(16-x^2)ln4}$

$y`$   на [0;4)      и   $y` >0$  на (-4;0]   ⇒  

функция  убывает на [0;√7) значит  наибольшее значение при х=0

y(0)=log₄16=2

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \log_4(16 - x^2)$ на интервале $[0, \sqrt{7}]$, следует выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln(4)} \cdot \frac{-2x}{16 - x^2}.$$

2. Найти критические точки: Критические точки функции находятся при $f'(x) = 0$. В данном случае, когда знаменатель равен нулю ($16 - x^2 = 0$), $x^2 = 16$, что дает две критические точки: $x = -4$ и $x = 4$.

3. Проверить краевые точки: Проверим значение функции в краевых точках интервала, то есть при $x = 0$ и $x = \sqrt{7}$.

Теперь вычислим значения функции в критических и краевых точках:

• При $x = -4$: $f(-4) = \log_4(16 - (-4)^2) = \log_4(0) =$ не определено (логарифм от нуля не определен).
• При $x = 0$: $f(0) = \log_4(16 - 0^2) = \log_4(16) = 2$.
• При $x = 4$: $f(4) = \log_4(16 - 4^2) = \log_4(0) =$ не определено (логарифм от нуля не определен).
• При $x = \sqrt{7}$: $f(\sqrt{7}) = \log_4(16 - (\sqrt{7})^2) = \log_4(9) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале $[0, \sqrt{7}]$ равно $2$ и достигается при $x = 0$.