Question

5. Докажите, что если в группе квадрат любого элемента равен 1, то эта группа коммутативна.

Answer 1

Ответ:

a*b = 1*a*b*1 = b*b*a*b*a*a = b*(ba)(ba)*a = b*1*a = b*a

(Коммутативность для единицы обычно постулируется в определении единичного элемента)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим группу $G$ с операцией умножения и предположим, что для любого элемента $a$ из этой группы выполняется условие $a^2 = 1$. Нам нужно доказать, что эта группа коммутативна, то есть для любых элементов $a$ и $b$ из $G$ выполняется $ab = ba$.

Рассмотрим произведение $ab$. Воспользуемся условием $a^2 = 1$:

$ab = a(ab)a = (aa)b = b.$

Аналогично рассмотрим произведение $ba$:

$ba = b(ab)a = b(aa) = b.$

Таким образом, мы видим, что $ab = ba$ для любых элементов $a$ и $b$ из группы $G$. Следовательно, группа $G$ с условием $a^2 = 1$ для любого элемента является коммутативной группой.