Question

237. Доведіть, що кожний член арифметичної про- гресії, починаючи з другого, дорівнює півсумі сyсідніх з ним двох членів.​

Answer 1

Ответ:

=======

Объяснение:

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо арифметичну прогресію з загальним членом a_n, де n - номер члена прогресії, і d - різниця між сусідніми членами прогресії:

a_n = a_1 + (n - 1) * d

Тепер ми хочемо довести, що кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого (тобто n ≥ 2), дорівнює півсумі сусідніх з ним двох членів. Це означає, що ми маємо показати, що:

a_n = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2

Давайте підставимо вираз для a_n з виразу для загального члена арифметичної прогресії:

a_n = a_1 + (n - 1) * d

Тепер підставимо n - 1 і n + 1 вирази у вираз для a_n:

a_{n-1} = a_1 + (n - 2) * d a_{n+1} = a_1 + n * d

Тепер ми можемо записати рівність:

(a_1 + (n - 1) * d) = ((a_1 + (n - 2) * d) + (a_1 + n * d)) / 2

Тепер спростимо це рівняння:

(a_1 + (n - 1) * d) = (a_1 + (n - 2) * d + a_1 + n * d) / 2

(a_1 + (n - 1) * d) = (2 * a_1 + (n - 2) * d + n * d) / 2

Тепер помножимо обидві сторони рівняння на 2, щоб позбавитися від ділення на 2:

2 * (a_1 + (n - 1) * d) = 2 * (2 * a_1 + (n - 2) * d + n * d) / 2

Зараз спростимо це рівняння:

2 * a_1 + 2 * (n - 1) * d = 2 * (2 * a_1 + (n - 2) * d + n * d) / 2

2 * a_1 + 2 * (n - 1) * d = 2 * a_1 + (n - 2) * d + n * d

Тепер ми бачимо, що обидві сторони рівняння рівні одна одній, і ми успішно довели, що кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює півсумі сусідніх з ним двох членів:

a_n = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2

Таким чином, доведено твердження.