Question

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения) y”-9y’+20y=x^2e^4x

Answer 1

$y''-9y'+20y=x^2e^{4x}\\\\a)\ \ k^2-9k+20=0\ \ ,\ \ k_1=4\ ,\ k_2=5\\\\y_{oo}=C_1e^{4x}+C_2e^{5x}\\\\b)\ \ f(x)=x^2e^{4x}\ \ ,\ \ \alpha =4=k_1\ \ \to \ \ r=1\ \ ,\ \ y_{chastn}=(Ax^2+Bx+C)\cdot x^{r}\cdot e^{4x}\\\\ y_{chastn}=(Ax^2+Bx+C)\cdot x\cdot e^{4x}=(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot e^{4x}\\\\ y'_{chastn}=(3Ax^2+2Bx+C)\cdot e^{4x}+(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot 4e^{4x}$

$y''_{chastn}=(6Ax+2B)\cdot e^{4x}+(3Ax^2+Bx+C)\cdot 4e^{4x}+\\{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(3Ax^2+2Bx+C)\cdot 4e^{4x}+(Ax^3+Bx^2+Cx)\cdot 16e^{4x}\\-------------------------------$

$y''-9y'+20y=-(3Ax^2+2Bx+C)e^{4x}+(6Ax+2B)e^{4x}=x^2e^{4x}\\\\-3Ax^2-2Bx-C+6Ax+2B=x^2\\\\x^2\ |\ -3A=1\ \ ,\qquad A=-\dfrac{1}{3}\\x\ \ |\ -2B+6A=0\ \ ,\ \ B=3A\ \ ,\ \ B=-3\cdot \dfrac{1}{3}=-1\\x^0\ |\ -C+2B=0\ \ ,\ \ C=2B=-2\\\\\\y_{chastn}=\Big(-\dfrac{1}{3}\, x^2-x^2-2x\Big)\cdot e^{4x}\\\\\\c)\ \ y_{o.n.}=C_1e^{4x}+C_2e^{5x}-\Big(\dfrac{1}{3}\, x^2+x^2+2x\Big)\cdot e^{4x}$

Answer 2

Чтобы найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, сначала найдем соответствующее однородное уравнение и его общее решение, а затем найдем частное решение неоднородной части уравнения.

Однородное уравнение: y'' - 9y' + 20y = 0

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения будет следующим: r^2 - 9r + 20 = 0

Это уравнение можно разложить на множители: (r - 4)(r - 5) = 0

Из этого уравнения получаем два характеристических корня: r1 = 4 и r2 = 5

Теперь можем записать общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1e^(4x) + C2e^(5x)

Теперь найдем частное решение для неоднородной части уравнения.

Неоднородная часть уравнения: f(x) = x^2e^(4x)

Чтобы найти частное решение, предположим, что решение имеет вид y_p(x) = Ax^2e^(4x), где A - это константа, которую нам нужно найти.

Теперь найдем производные y_p(x): y_p'(x) = 2Ax^2e^(4x) + 8Ax^3e^(4x) y_p''(x) = 2Ae^(4x)(2x^2 + 8x^3 + 16x^2) = 2Ae^(4x)(2x^2 + 24x^3 + 16x^2)

Теперь подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение: 2Ae^(4x)(2x^2 + 24x^3 + 16x^2) - 9(2Ax^2e^(4x) + 8Ax^3e^(4x)) + 20Ax^2e^(4x) = x^2e^(4x)

Упростим это уравнение и сгруппируем подобные члены: 2Ae^(4x)(2x^2 + 24x^3 + 16x^2) - 18A x^2e^(4x) - 72Ax^3e^(4x) + 20Ax^2e^(4x) = x^2e^(4x)

(4A - 18A)x^2e^(4x) - 72Ax^3e^(4x) + 32Ax^2e^(4x) = x^2e^(4x)

(4A - 18A)x^2e^(4x) - 72Ax^3e^(4x) + 32Ax^2e^(4x) = x^2e^(4x)

После упрощения получаем: -14Ax^2e^(4x) = x^2e^(4x)

Теперь мы можем найти значение A: -14A = 1

A = -1/14

Итак, частное решение: y_p(x) = (-1/14)x^2e^(4x)

Теперь можем записать общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1e^(4x) + C2e^(5x) - (1/14)x^2e^(4x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных или граничных условий задачи.