Question

Решите неравенство: (x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)≤ 0

Answer 1

Произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю. Произведение будет меньше нуля, если нечётное количество множителей будет отрицательным. Множители, возведенные в чётную степень всегда положительны, значит можно составить системы уравнений:
$(x+1)^2*(x+4)^3*(2x+5)^4*(-4x^2-16x-7)\leq0\\ \begin{cases} x+4\leq0\\ -4x^2-16x-7\geq0 \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x+4\geq0\\-4x^2-16x-7\leq0 \end{cases}\\ -4x^2-16x-7=0\\ D=(-16)^2-4*(-4)*(-7)=144\\ x_1=\frac{16+12}{2*(-4)}=-3,5\ \ \ x_2=\frac{16-12}{2*(-4)}=-0,5\\ \begin{cases} x\leq-4\\ x\in[-3,5;-0,5] \end{cases} \ \ \ \begin{cases}x\geq-4\\x\in(-\infty;-3,5]\cup[0,5;\infty) \end{cases}\\ x\in[-4;-3,5]\cup[0,5;\infty)$
Найдем решения, при которых произведение обращается в ноль:
$\begin{cases} x+1=0\\ x+4=0\\ 2x+5=0\\ -4x^2-16x-7=0 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} x=-1\\ x=-4\\ x=-2,5\\ x=-0,5; \ \ \ x=-3,5 \end{cases}$
Ответ: $x\in[-4;-3,5]\cup[-2,5]\cup[-1]\cup[0,5;\infty)$

Answer 2

Для начала найдем все корни уравнения:

(x + 1)^2 = 0 x + 1 = 0 x = -1

(x + 4)^3 = 0 x + 4 = 0 x = -4

(2x + 5)^4 = 0 2x + 5 = 0 2x = -5 x = -5/2

-4x^2 - 16x - 7 = 0 Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом: D = (-16)^2 - 4*(-4)*(-7) = 256 - 112 = 144 x1,2 = (-(-16) ± √144)/(2*(-4)) = (16 ± 12)/(-8) x1 = (16 + 12)/(-8) = 28/(-8) = -7/2 x2 = (16 - 12)/(-8) = 4/(-8) = -1/2

Теперь разделим ось чисел на интервалы, ограниченные найденными корнями: (-бесконечность; -5/2), (-5/2; -4), (-4; -1), (-1; -1/2), (-1/2; +бесконечность).

Подставим в неравенство произвольное число из каждого интервала и определим знак выражения.

1) x = -3: (+)(-)(+)∙(-) = - 2) x = -3.5: (+)(-)(-)∙(-) = + 3) x = -1.5: (+)(+)(-)∙(-) = + 4) x = -0.75: (+)(+)(-)∙(-) = - 5) x = 0: (+)(+)(+)∙(-) = -

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-5/2; -4) и (-1; -1/2). Получаем ответ: x ∈ (-5/2; -4) ∪ (-1; -1/2)