Question

Розв'яжіть нерівність log0,2(x-1)<log0,2(3х+2)​

Answer 1

Відповідь на фото.

Якщо основа логарифму менше нуля (0,2), то знак нерівності змінюємо на протилежний.

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність $\log_{0.2}(x-1) < \log_{0.2}(3x+2)$, спершу перетворимо обидві сторони нерівності на десяткові логарифми (логарифми з основою 10), використовуючи властивість зміни основи логарифму:

$$\log_{0.2}(x-1) < \log_{0.2}(3x+2) \quad \Rightarrow \quad \frac{\log_{10}(x-1)}{\log_{10}(0.2)} < \frac{\log_{10}(3x+2)}{\log_{10}(0.2)}$$

Маємо $\log_{10}(0.2) = -0.69897$ (для точності, бо $0.2 = 10^{-0.69897}$).

Отже, наша нерівність стає:

$$\frac{\log_{10}(x-1)}{-0.69897} < \frac{\log_{10}(3x+2)}{-0.69897}$$

Далі помножимо обидві сторони на $-0.69897$ (розмінимо нерівність на від'ємну константу, але збережемо напрямок нерівності):

$$\log_{10}(x-1) > \log_{10}(3x+2)$$

Тепер застосуємо властивість логарифмів: якщо $\log_{a}(b) > \log_{a}(c)$, то $b > c$. Отже:

$$x - 1 > 3x + 2$$

Розв'язуємо цю нерівність для $x$:

$$\begin{align*} x - 3x & > 2 + 1 \\ -2x & > 3 \\ x & < -\frac{3}{2} \end{align*}$$

Отже, розв'язок нерівності це $x < -\frac{3}{2}$.