Question

Остача від ділення на 5 одного числа становить 4, а від ділення другого - 1. доведіть, що різниця квадратів цих чисел ділиться на 3​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

а=5*q+4

b=5*n+1

Так як 4 і 1 остачі, то достатньо перевірити їх різницю квадратів

4^2-1^2=16-1=15

15 ділиться на 3, отже і різниця квадратів чисел теж ділиться на 3

Answer 2

Давайте позначимо перше число як $x$, а друге число як $y$. За умовою маємо:

$$\begin{align*} x \mod 5 &= 4 \quad &(1) \\ y \mod 5 &= 1 \quad &(2) \\ \end{align*}$$

Тепер розглянемо різницю квадратів цих чисел:

$$(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y)$$

Ми хочемо довести, що $3$ ділить цю різницю квадратів. Розділімо $x - y$ і $x + y$ на $3$ та розглянемо можливі варіанти залишків.

1. Якщо $x - y$ і $x + y$ обидва діляться на $3$, то і їхня добуток також ділиться на $3$.

2. Якщо $x - y$ і $x + y$ обидва мають залишок $1$ при діленні на $3$, то їхня сума (тобто $2x$) має залишок $2$ при діленні на $3$, що не можливо за умовами задачі.

3. Якщо $x - y$ і $x + y$ обидва мають залишок $2$ при діленні на $3$, то їхня сума (тобто $2x$) має залишок $1$ при діленні на $3$. Отже, в даному випадку, сума має залишок, який відрізняється від залишку $0$ (залишок від ділення на $3$ $0$), тобто цей варіант також неможливий.

Таким чином, єдиний залишок, при якому можливо ділити $x - y$ і $x + y$ на $3$, - це залишок $0$ (залишок від ділення на $3$ $0$). Таким чином, різниця квадратів $x^2 - y^2$ ділиться на $3$.