Question

Докажите, что если a не делится на 5 то a4-1 делится на 5 ​

Answer 1

Ответ:

4-1=3 не делится. Зато вторая скобка при проверке у=2: 4+1=5 будет делиться на 5, т. е. и в этом случае выражение делится на 5. Продолжите проверку и убедитесь, что в любом случае выражение a^4-1 будет делиться на 5. ... можно чуть проще. если a не делится на 5, то последняя цифра числа 1,2,3,4,6,7,8,9 a^4 заканчиваетя либо на 6, либо на 1. (это легко проверить в уме) значит a^4-1 заканчивается либо на 0, либо на 5. что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим значение $a$ такое, что $a$ не делится на 5. То есть, предположим, что $a$ не кратно 5. Это можно записать как $a \equiv r \pmod{5}$, где $r$ - остаток от деления $a$ на 5 и $r$ может быть 1, 2, 3 или 4.

Теперь давайте рассмотрим $a^4 - 1$. Мы можем представить это выражение как разность кубов:

$a^4 - 1 = (a^2 + 1)(a^2 - 1)$

Используя разность квадратов, мы можем дальше упростить:

$a^4 - 1 = (a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)$

Теперь мы видим, что $a^4 - 1$ является произведением трех последовательных целых чисел: $a - 1, a$ и $a + 1$.

Исходя из предположения, что $a$ не кратно 5 ($a \equiv r \pmod{5}$), мы можем рассмотреть три случая для $r$:

1. Если $r = 1$, то $a - 1 \equiv 0 \pmod{5}$, что означает, что $a - 1$ кратно 5.

2. Если $r = 2$, то $a \equiv 0 \pmod{5}$, что означает, что $a$ кратно 5.

3. Если $r = 3$, то $a + 1 \equiv 0 \pmod{5}$, что означает, что $a + 1$ кратно 5.

4. Если $r = 4$, то $a - 1 \equiv 3 \pmod{5}$, что означает, что $a - 1$ кратно 5.

В каждом из этих случаев $a - 1, a$ и $a + 1$ являются последовательными целыми числами, одно из которых кратно 5. Следовательно, $a^4 - 1$ делится на 5.