Question

Сума першого і п'ятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює 14 , а добуток другого і четвертого членів дорівнює 45 . Знайдіть цю прогресію . Скільки членів прогресії потрібно взяти , щоб їх сума дорівнювала 24 ?

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте позначимо перший член прогресії як "a" і різницю між членами прогресії як "d". Таким чином, перший член арифметичної прогресії - a, другий член - a + d, третій член - a + 2d, четвертий член - a + 3d і п'ятий член - a + 4d.

За умовою задачі, сума першого і п'ятого членів дорівнює 14:

a + (a + 4d) = 14

А добуток другого і четвертого членів дорівнює 45:

(a + d) * (a + 3d) = 45

Розглянемо перше рівняння:

2a + 4d = 14

Ділимо обидві сторони на 2:

a + 2d = 7

Тепер розглянемо друге рівняння:

(a + d) * (a + 3d) = 45

Розкриваємо дужки і множимо:

a^2 + 4ad + 3d^2 = 45

Тепер ми можемо використовувати перше рівняння для виразу a:

a = 7 - 2d

Підставляючи цей вираз для a в друге рівняння:

(7 - 2d)^2 + 4d(7 - 2d) + 3d^2 = 45

Розкриваємо квадрат і спростимо рівняння:

49 - 28d + 4d^2 + 28d - 8d^2 + 3d^2 = 45

Тепер скоротимо подібні члени:

-4d^2 + 3d^2 = 45 - 49

-d^2 = -4

d^2 = 4

d = ±2

Тепер, коли ми знаємо значення різниці d, можемо знайти значення першого члена a:

Якщо d = 2: a = 7 - 2 * 2 = 7 - 4 = 3

Якщо d = -2: a = 7 - 2 * (-2) = 7 + 4 = 11

Отже, у нас є два варіанти арифметичної прогресії:

1. Якщо d = 2 і a = 3, то прогресія буде: 3, 5, 7, 9, 11, ...

2. Якщо d = -2 і a = 11, то прогресія буде: 11, 9, 7, 5, 3, ...

Тепер ми можемо знайти, скільки членів прогресії потрібно взяти, щоб їх сума дорівнювала 24. Давайте спробуємо обидва варіанти:

1. Для прогресії 3, 5, 7, 9, 11, ...: Щоб знайти суму членів, можемо використовувати формулу для суми арифметичної прогресії: S_n = (n/2) * [2a + (n - 1)d] Де S_n - сума перших n членів прогресії, a - перший член, d - різниця.

   Підставляємо значення: 24 = (n/2) * [2 * 3 + (n - 1) * 2] 24 = (n/2) * [6 + 2n - 2] 24 = (n/2) * [4 + 2n] Розкриваємо дужки: 24 = 2n^2 + 4n Переносимо все в одну сторону: 2n^2 + 4n - 24 = 0 n^2 + 2n - 12 = 0 Розкриваємо дужки: (n + 4)(n - 3) = 0 Отримуємо два корені: n = -4 і n = 3.

   Оскільки кількість членів не може бути від'ємною, то нам потрібно взяти 3 члени прогресії.

2. Для прогресії 11, 9, 7, 5, 3, ...: Аналогічно, застосовуємо формулу для суми арифметичної прогресії: 24 = (n/2) * [2 * 11 + (n - 1) * (-2)] Розкриваємо дужки: 24 = (n/2) * [22 - 2n + 2] 24 = (n/2) * [24 - 2n] Розкриваємо дужки: 24 = 12n - n^2 Переносимо все в одну сторону: n^2 - 12n + 24 = 0 Розкриваємо дужки: (n - 6)(n - 4) = 0 Отримуємо два корені: n = 6 і n = 4.

   Оскільки кількість членів не може бути від'ємною, то нам потрібно взяти 4 члени прогресії.

Отже, щоб сума членів прогресії дорівнювала 24, потрібно взяти 3 члени для першого варіанту прогресії і 4 члени для другого варіанту прогресії.