Question

Докажите что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делятся на 8​

Answer 1

Ответ:

Возьмем что Н любое число, если любое число умножить на 2 получится четное число. Если от 2Н отнять нечетное число, то при любом значении Н, результат будет нечетным. Итак, пусть 1 нечетное число будет (2Н - 1), а второе нечетное - (2Н - 3). Нужно доказать что квадраты этих чисел делится на 8. Тогда у нас будет такое:

(2Н - 1)² - (2Н - 3)² = (2Н - 1 - 2Н + 3)(2Н - 1 + 2Н - 3) = 2(4Н - 4) = 8(Н - 1)

Как видно из результата, что один из множителей 8, значит выражение делится на 8.

Answer 2

Предположим, что у нас есть два последовательных нечётных числа, представленных как $2n + 1$ и $2n + 3$, где $n$ - целое число.

Разность между этими числами (разность квадратов) будет:

$(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$

Распишем это выражение:

$(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)$ $= 12n + 8 = 8(3n + 1)$

Это выражение является кратным 8, так как умножено на 8. Таким образом, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.