Question

Сума скількох членів геометричної прогресії 3,6,12 дорівнює 765​

Answer 1

$b_{1}=3\\\\b_{2}=6\\\\S_{n}=765\\\\n=?\\\\\\b_{2}=b_{1}*q\\\\q=\frac{b_{2} }{b_{1} }=\frac{6}{3}=2\\\\S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1} \\\\\frac{3*(2^{n}-1) }{2-1}=765\\\\3*(2^{n}-1)=765\\\\2^{n}-1=255\\\\2^{n} =256\\\\2^{n}=2^{8}\\\\\boxed{n=8}$

Answer 2

Для знаходження суми скількох членів геометричної прогресії, потрібно використовувати наступну формулу:

$S_n = a \left(\frac{r^n - 1}{r - 1}\right),$

де:

• $S_n$ - сума перших $n$ членів прогресії,
• $a$ - перший член прогресії,
• $r$ - знаменник прогресії,
• $n$ - кількість членів прогресії.

У нас дана геометрична прогресія з першим членом $a = 3$ та знаменником $r = \frac{6}{3} = 2$. Ми хочемо знайти суму перших $n$ членів так, що сума дорівнює 765. Тобто, ми хочемо розв'язати рівняння:

$765 = 3 \left(\frac{2^n - 1}{2 - 1}\right).$

Зараз давайте спростимо це рівняння:

$765 = 3(2^n - 1).$

Розділимо обидві сторони на 3:

$255 = 2^n - 1.$

Тепер додамо 1 до обох боків:

$256 = 2^n.$

Тепер ми хочемо знайти значення $n$, тому візьмемо логарифм обох сторін:

$\log_2(256) = \log_2(2^n).$

Це приведе нас до:

$8 = n.$

Отже, сума перших 8 членів геометричної прогресії 3, 6, 12 дорівнює 765.