Question

Найдите критические точки функции: a)y=8+2x^2-x^4 b)y=x^4-8x^2 c)y=x/5+5/x d)y=(x-3)^4 e)y=cos3x-3/5cos5x Найдите точки экстремума заданной функции: a)y=-5x^4+3x^2 b)x^4-4x^3-8x^2+13

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Для нахождения критических точек функций сначала найдем их производные и приравняем их к нулю.

a) y = 8 + 2x^2 - x^4 y' = 4x^3 - 4x 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)

Критические точки: x = 0, x = 1 и x = -1.

b) y = x^4 - 8x^2 y' = 4x^3 - 16x 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2)

Критические точки: x = 0, x = 2 и x = -2.

c) y = x/5 + 5/x y' = 1/5 - 5/x^2

Эта функция имеет критическую точку, когда знаменатель становится равным нулю, то есть x^2 = 5. Отсюда получаем две критические точки: x = sqrt(5) и x = -sqrt(5).

d) y = (x - 3)^4 y' = 4(x - 3)^3

Критическая точка: x = 3.

e) y = cos(3x) - (3/5)cos(5x) y' = -3sin(3x) + (3/5)sin(5x)

Для поиска критических точек приравняем производную к нулю: -3sin(3x) + (3/5)sin(5x) = 0

Решение этого уравнения не имеет простых аналитических корней, но вы можете использовать численные методы для его решения.

Теперь перейдем к нахождению точек экстремума для заданных функций.

a) y = -5x^4 + 3x^2 Для нахождения точек экстремума найдем производную второго порядка: y' = -20x^3 + 6x y'' = -60x^2 + 6

Чтобы найти точки экстремума, приравняем y'' к нулю: -60x^2 + 6 = 0 60x^2 = 6 x^2 = 1/10 x = ±sqrt(1/10)

Теперь найдем значения y в этих точках: y(sqrt(1/10)) = -5(1/10) + 3(1/10) = -2/10 = -1/5 y(-sqrt(1/10)) = -5(1/10) + 3(1/10) = -2/10 = -1/5

Точки экстремума: (sqrt(1/10), -1/5) и (-sqrt(1/10), -1/5).

b) y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13 y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x y'' = 12x^2 - 24x - 16

Для нахождения точек экстремума приравняем y' к нулю и найдем значения x: 4x^3 - 12x^2 - 16x = 0 4x(x^2 - 3x - 4) = 0 4x(x - 4)(x + 1) = 0

Точки экстремума: x = 0, x = 4 и x = -1.

Теперь найдем значения y в этих точках: y(0) = 13 y(4) = 4^4 - 4^3 - 8(4^2) + 13 = 256 - 64 - 128 + 13 = 77 y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10

Точки экстремума: (0, 13), (4, 77) и (-1, 10).