Question

Пожалуйста ,пожалуйста помогите с алгеброй... Найдите критические точки функции: a)y=8+2x^2-x^4 b)y=x^4-8x^2 c)y=x/5+5/x d)y=(x-3)^4 e)y=cos3x-3/5cos5x Найдите точки экстремума заданной функции: a)y=-5x^4+3x^2 b)x^4-4x^3-8x^2+13

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Всё написала во вложении.

Answer 2

Давайте начнем с поиска критических точек для данных функций. Критические точки функции - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

a) y = 8 + 2x^2 - x^4

Для нахождения критических точек, найдем производную и приравняем ее к нулю:

y' = 4x^3 - 8x^3 = 0

Факторизуем это уравнение:

4x^3 - 8x^3 = 4x^3(1 - 2x^2) = 0

Таким образом, x = 0 (для 4x^3) и x = ±√(2) (для 1 - 2x^2) - это критические точки.

b) y = x^4 - 8x^2

Теперь найдем производную и приравняем ее к нулю:

y' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x + 2)(x - 2) = 0

Таким образом, x = 0, x = -2 и x = 2 - это критические точки.

c) y = x/5 + 5/x

y' = (1/5 - 5/x^2)

Находим, когда y' = 0:

1/5 - 5/x^2 = 0

1 - 5/x^2 = 0

5/x^2 = 1

x^2 = 5

x = ±√(5) - это критические точки.

d) y = (x - 3)^4

y' = 4(x - 3)^3

Так как это уравнение всегда равно 0, то у нас есть только одна критическая точка, которая равна x = 3.

e) y = cos(3x) - (3/5)cos(5x)

y' = -3sin(3x) + (15/5)sin(5x) = -3sin(3x) + 3sin(5x)

Находим, когда y' = 0:

-3sin(3x) + 3sin(5x) = 0

sin(3x) = sin(5x)

Теперь найдем x, при котором sin(3x) = sin(5x). Это может произойти, если углы 3x и 5x равны или сумма углов 3x и 5x равна 180 градусов:

1. 3x = 5x 2x = 0 x = 0

2. 3x + 5x = 180° 8x = 180° x = 22.5°

Таким образом, x = 0 и x = 22.5° - это критические точки.

Теперь перейдем к поиску точек экстремума для данных функций:

a) y = -5x^4 + 3x^2

Для поиска экстремумов, найдем вторую производную и проверим знак:

y' = -20x^3 + 6x y'' = -60x^2 + 6

Теперь найдем, когда y'' = 0:

-60x^2 + 6 = 0 60x^2 = 6 x^2 = 1 x = ±1

Теперь проверим знак второй производной в окрестности этих точек:

• При x < -1, y'' > 0, поэтому у нас есть локальный минимум.
• При -1 < x < 1, y'' < 0, поэтому у нас есть локальный максимум.
• При x > 1, y'' > 0, снова локальный минимум.

Итак, у нас есть локальный максимум в x = -1 и локальные минимумы в x = 1 и x = -1.

b) y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13

Для поиска экстремумов, найдем вторую производную и проверим знак:

y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x y'' = 12x^2 - 24x - 16

Теперь найдем, когда y'' = 0:

12x^2 - 24x - 16 = 0

Давайте разделим это уравнение на 4:

3x^2 - 6x - 4 = 0

Теперь найдем его корни:

x^2 - 2x - 4/3 = 0

Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-4/3) = 4 + 16/3 = 12/3 + 16/3 = 28/3

x = (-b ± √D) / 2a x = (2 ± √(28/3)) / (2*1)

x = (2 ± 2√(7/3)) / 2 x = 1 ± √(7/3)

Таким образом, у нас есть две точки, в которых y'' = 0: x = 1 + √(7/3) и x = 1 - √(7/3).

Теперь проверим знак второй производной в окрестности этих точек:

• При x < 1 - √(7/3), y'' > 0, поэтому у нас есть локальный минимум.
• При 1 - √(7/3) < x < 1 + √(7/3), y'' < 0, поэтому у нас есть локальный максимум.
• При x > 1 + √(7/3), y'' > 0, снова локальный минимум.

Итак, у нас есть локальный максимум в x = 1 - √(7/3) и локальные минимумы в x = 1 + √(7/3) и x = 1 - √(7/3).