Question

первый член и знаменатель геометрической прогрессии равен двум сколько первых членов этой прогрессии нужно взять чтобы их сумма была равна 1020​

Answer 1

Ответ:

$b_1=2\ ,\ \ q=2\ \ ,\ \ S_{n}=1022\\\\\\S_{n}=\dfrac{b_1\, (q^{n}-1)}{q-1}\\\\\\\dfrac{2\, (2^{n}-1)}{2-1}=1022\ \ ,\ \ \ 2\, (2^{n}-1)=1022\ \ ,\ \ \ 2^{n}-1=511\ \ ,\\\\\\2^{n}=512\ \ ,\ \ 2^{n}=2^9\ \ ,\ \ \ n=9$

P.S.  Сумма, наверное 1022, а не 1020, так как если брать 1020, то не получиться целого значения n .

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r},$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $a_1$ - первый член прогрессии,
• $r$ - знаменатель (отношение между соседними членами прогрессии).

В данной задаче $a_1 = 2$, и нам нужно найти n такое, что $S_n = 1020$. Подставим известные значения:

$1020 = \frac{2(1 - r^n)}{1 - r}.$

Теперь мы можем решить это уравнение для n. Сначала домножим обе стороны на $(1 - r)$:

$1020(1 - r) = 2(1 - r^n).$

Затем разделим обе стороны на 2:

$510(1 - r) = 1 - r^n.$

Теперь добавим $r^n$ к обеим сторонам:

$510(1 - r) + r^n = 1.$

Теперь нам нужно найти значение n. Давайте предположим, что $n$ - это натуральное число. Тогда мы можем использовать логарифмы для решения уравнения:

$r^n = 510(1 - r) + 1.$

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

$\ln(r^n) = \ln(510(1 - r) + 1).$

Используя свойство логарифмов $\ln(a^b) = b\ln(a)$, получим:

$n\ln(r) = \ln(510(1 - r) + 1).$

Теперь выразим n:

$n = \frac{\ln(510(1 - r) + 1)}{\ln(r)}.$

Теперь можно вычислить значение n, используя заданный знаменатель и решая уравнение численно.