Question

Докажите тождество sina /1+cosa -sina/1-cosa = -2ctga​

Answer 1

Ответ:

Что и требовалось доказать

Объяснение:

Для того, чтобы доказать данное тождество, необходимо упростить левую часть этого тождества. В итоге упрощения должна получится правая часть тождества.

$\frac{sina}{1+cosa}-\frac{sina}{1-cosa} = \frac{sina-sinacosa-sina-sinacosa}{(1+cosa)(1-cosa)} = \frac{-2sinacosa}{1-cos^2a} = \frac{-2sinacosa}{sin^2a} = -2ctga$

Answer 2

Для доказательства данного тождества начнем с левой стороны:

sin(a) / (1 + cos(a)) - sin(a) / (1 - cos(a))

Сначала найдем общий знаменатель для обеих дробей. Умножим первую дробь на (1 - cos(a)) и вторую дробь на (1 + cos(a)):

(sin(a) * (1 - cos(a))) / ((1 + cos(a)) * (1 - cos(a))) - (sin(a) * (1 + cos(a))) / ((1 - cos(a)) * (1 + cos(a)))

Заметим, что (1 - cos(a)) * (1 + cos(a)) равно 1 - cos^2(a), что равно sin^2(a), так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Теперь мы можем упростить выражение:

(sin(a) * (1 - cos(a))) / sin^2(a) - (sin(a) * (1 + cos(a))) / sin^2(a)

Теперь объединим обе дроби в одну, имея общий знаменатель:

[(sin(a) * (1 - cos(a))) - (sin(a) * (1 + cos(a)))] / sin^2(a)

Теперь раскроем скобки:

[sin(a) - sin(a)*cos(a) - sin(a) - sin(a)*cos(a)] / sin^2(a)

Теперь объединим подобные члены:

[-2*sin(a)*cos(a)] / sin^2(a)

Теперь воспользуемся тождеством тангенса: tg(a) = sin(a) / cos(a). Используя это тождество, мы можем записать sin(a)/cos(a) как tg(a):

[-2*tg(a)] / (sin^2(a) / cos^2(a))

Теперь упростим выражение, деля sin^2(a) на cos^2(a):

-2 * tg(a) * cos^2(a) / sin^2(a)

Используя тождество тангенса, tg^2(a) + 1 = sec^2(a), мы можем выразить cos^2(a) / sin^2(a) как sec^2(a):

-2 * tg(a) * sec^2(a)

Теперь у нас есть выражение, которое соответствует правой стороне тождества -2ctg(a), что и требовалось доказать.