Question

Знайдіть похідну функції у=х2√х та обчисліть її значення, якщо х=4​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\, \sqrt{x}\ \ \ \to \ \ \ \ y=x^{5/2}\\\\y'=\dfrac{5}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}=\dfrac{5}{2}\cdot \sqrt{x^3}\\\\x=4:\ \ \ y'(4)=\dfrac{5}{2}\cdot \sqrt{4^3}=\dfrac{5}{2}\cdot \sqrt{2^6}=\dfrac{5}{2}\cdot 2^3=\dfrac{5}{2}\cdot 8=20$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції $y = x^2 \sqrt{x}$, скористаємося правилами диференціювання. Розглянемо кожний доданок окремо.

1. Похідна від $x^2$ за виразом $nx^{(n-1)}$, де $n$ - це ступінь $x$: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$

2. Похідна від $\sqrt{x}$ за виразом $\frac{1}{2}x^{(-\frac{1}{2})}$: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2}x^{(-\frac{1}{2})}.$

Тепер обчислимо похідну виразу $y = x^2 \sqrt{x}$: $\frac{dy}{dx} = 2x \cdot \sqrt{x} + x^2 \cdot \frac{1}{2}x^{(-\frac{1}{2})}.$

Спростимо вираз: $\frac{dy}{dx} = 2x \sqrt{x} + \frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}.$

Тепер можемо обчислити значення похідної при $x = 4$: $\frac{dy}{dx} \Big|_{x=4} = 2 \cdot 4 \sqrt{4} + \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}.$

Обчислимо значення: $\frac{dy}{dx} \Big|_{x=4} = 8 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 + 16 = 32.$

Отже, значення похідної функції $y = x^2 \sqrt{x}$ при $x = 4$ дорівнює 32.