Question

Упростите выражение: сos7β+cos3β+cos6β+сos2β= 100 баллов

Answer 1

Ответ:

$\cos( 7\beta ) + \cos(3 \beta ) + \cos( 6\beta ) + \cos( 2\beta ) = \\ = 2 \cos( \frac{ 7\beta + 3 \beta }{2} ) \cos( \frac{ 7\beta - 3 \beta }{2} ) + 2\cos( \frac{ 6\beta + 2 \beta }{2} ) \cos( \frac{ 6\beta - 2\beta }{2} ) = \\ = 2 \cos( 5\beta ) \cos(2 \beta ) + 2\cos( 4\beta ) \cos( 2\beta ) = \\ = 2 \cos( 2\beta ) \times ( \cos(5 \beta ) + \cos(4 \beta )) = \\ = 2 \cos( 2\beta ) \times 2 \cos( \frac{5 \beta + 4 \beta }{2} ) \cos( \frac{ 5\beta - 4 \beta }{2} ) = \\ = 4 \cos(2 \beta ) \cos( \frac{9 \beta }{2} ) \cos( \frac{ \ \beta }{2} )$

Answer 2

Для упрощения данного выражения нам нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами и сложить косинусы с одинаковыми аргументами:

cos(7β) + cos(3β) + cos(6β) + cos(2β)

Сначала мы можем объединить cos(7β) и cos(3β), используя следующее тригонометрическое тождество:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применяя это тождество, получим:

cos(7β) + cos(3β) = 2 * cos((7β + 3β) / 2) * cos((7β - 3β) / 2) cos(7β) + cos(3β) = 2 * cos(5β) * cos(2β)

Теперь у нас есть:

2 * cos(5β) * cos(2β) + cos(6β) + cos(2β)

Затем мы можем объединить cos(5β) и cos(2β) снова, используя тождество:

cos(a) * cos(b) = 0.5 * [cos(a + b) + cos(a - b)]

Применяя это тождество, получим:

2 * cos(5β) * cos(2β) = 2 * 0.5 * [cos(5β + 2β) + cos(5β - 2β)] 2 * cos(5β) * cos(2β) = cos(7β) + cos(3β)

Теперь у нас есть:

cos(7β) + cos(3β) + cos(6β) + cos(2β) = (cos(7β) + cos(3β)) + (cos(6β) + cos(2β)) = (cos(7β) + cos(3β)) + (cos(7β) + cos(3β)) = 2 * (cos(7β) + cos(3β))

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

2 * (cos(7β) + cos(3β))

Это выражение равно удвоенной сумме косинусов (7β) и (3β). Без знания конкретных значений для β мы не можем вычислить точное числовое значение, но это упрощение позволяет нам выразить выражение в более простой форме.