Question

Решите систему неравеств {х²-5х+7>0 х²+3х-40<=0

Answer 1

${x}^{2} - 5x + 7 > 0 \\ {x}^{2} + 3x - 40 \leqslant 0 \\ \\ x∈R \\ x∈[ - 8;5] \\ \\ x∈[ - 8;5]$

Каждые 2 строки в фигурные скобки возьми

Answer 2

Давайте разберемся с этой системой неравенств поочередно:

1. Начнем с первого неравенства: x² - 5x + 7 > 0

   Это квадратное уравнение, и мы можем найти его корни, чтобы определить интервалы, на которых оно положительно или отрицательно.

   Сначала найдем корни уравнения x² - 5x + 7 = 0. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

   D = (-5)² - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = -3

   Дискриминант D отрицателен, поэтому уравнение x² - 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней.

   Это означает, что уравнение x² - 5x + 7 > 0 положительно для всех значений x.

2. Теперь перейдем ко второму неравенству: x² + 3x - 40 ≤ 0

   Найдем корни уравнения x² + 3x - 40 = 0:

   (x + 8)(x - 5) = 0

   x₁ = -8 x₂ = 5

   Теперь мы можем использовать метод интервалов, чтобы определить, когда это уравнение меньше или равно нулю. Нам нужно разбить пространство x на три интервала:

   a) x < -8 b) -8 ≤ x ≤ 5 c) x > 5

   Проверим значение уравнения в каждом интервале:

   a) x < -8: x² + 3x - 40 < 0 (-8)² + 3*(-8) - 40 = 64 - 24 - 40 = 0 - 40 < 0 (верно)

   b) -8 ≤ x ≤ 5: x² + 3x - 40 ≤ 0 (значение может быть равно нулю) Подставим x = -8: (-8)² + 3*(-8) - 40 = 0 (верно)

   Подставим x = 5: (5)² + 3*(5) - 40 = 25 + 15 - 40 = 40 - 40 = 0 (верно)

   c) x > 5: x² + 3x - 40 > 0 Подставим x = 6: (6)² + 3*(6) - 40 = 36 + 18 - 40 = 54 - 40 = 14 > 0 (верно)

   Таким образом, уравнение x² + 3x - 40 ≤ 0 выполняется на интервале -8 ≤ x ≤ 5.

Итак, решение системы неравенств: x² - 5x + 7 > 0 x² + 3x - 40 ≤ 0

заключается в том, что она выполняется на интервалах:

1. x ∈ (-∞, +∞)
2. x ∈ [-8, 5]

Это значит, что ответом на систему неравенств будет: x ∈ (-∞, +∞) и x ∈ [-8, 5]