Question

Найти остаток при делении 2^2011 на 5

Answer 1

Ответ:

Тут нужно поймать закономерность и рассмотреть последовательность остатков степеней двойки при делении на 5 Степени: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 2,4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2... Итак, видим последовательность из 4 остатков, цикляшуюся снова и снова. Это достаточно очевидно, ведь степени двойки кончаются на 2, 4, 8, 6 и по кругу, а 2, 4, 3, 1 - это те же числа по модулю 5. 2' имеет остаток 2 Значит и 2^2009 имеет остаток 2, 2^2010 остаток 4 а 2^2011 остаток

Answer 2

Чтобы найти остаток при делении $2^{2011}$ на 5, можно воспользоваться свойствами остатков от деления и законом возведения в степень по модулю.

Сначала заметим, что остатки при делении степеней 2 на 5 имеют периодический характер. То есть остатки при делении $2^1$, $2^2$, $2^3$, и так далее, будут повторяться с определенным периодом.

Давайте найдем этот период:

$2^1 \mod 5 = 2$ $2^2 \mod 5 = 4$ $2^3 \mod 5 = 3$ $2^4 \mod 5 = 1$ $2^5 \mod 5 = 2$

И так далее. Замечаем, что остатки $2^n$ начинают повторяться с $n = 4$, так как $2^4 \mod 5 = 1$. Таким образом, период равен 4.

Теперь мы можем выразить $2^{2011}$ через этот период:

$2^{2011} = (2^4)^{502} \cdot 2^3$

Поскольку $2^4 \mod 5 = 1$, то $(2^4)^{502} \mod 5 = 1^{502} = 1$.

Теперь у нас есть $1 \cdot 2^3$, и $2^3 \mod 5 = 3$.

Итак, остаток при делении $2^{2011}$ на 5 равен 3.