Question

Для подготовки к ЕГЭ : Найти все значения параметра , для которых уравнение 20lg(x² +10) +a² +8·|x| = 4x +3· |x-4a | имеет хотя бы один корень

Answer 1

Ответ:

[-10, -2]∪[2, 10]

Объяснение:

Перенесём всё в левую часть:

$20\lg{(x^2+10)}+a^2+8|x|-4x-3|x-4a|=0$

Рассмотрим функцию $f(x)=20\lg{(x^2+10)}+a^2+8|x|-4x-3|x-4a|$, а также функции $g(x)=20\lg{(x^2+10)}+a^2$ и $h(x)=8|x|-4x-3|x-4a|$ (то есть $f(x)=g(x)+h(x)$).

При x ≥ 0 функция g(x) возрастает, так как x² на данном промежутке возрастает, соответственно, прибавив 10, взяв логарифм (возрастающую функцию), умножив на 20 (положительное число) и прибавив a², мы не меняем характер возрастания/убывания функции. Аналогично рассуждая, при x < 0 функция g(x) убывает.

Рассмотрим функцию h(x). При x ≥ 0 $h(x)=8x-4x-3|x-4a|=4x-3|x-4a|$. Независимо от того, как раскроется второй модуль, коэффициент перед x будет не меньше единицы, то есть при x ≥ 0 данная функция возрастает, поскольку части этой функции — другие линейные функции с положительным коэффициентом перед x. При x < 0 $h(x)=-8x-4x-3|x-4a|=-12x-3|x-4a|$. Аналогично: независимо от того, как раскроется второй модуль, коэффициент перед x будет не больше -9, то есть при x < 0 функция убывает.

Таким образом, при x ≥ 0 функция f(x) представляет собой сумму двух возрастающих функций, то есть сама является возрастающей функцией; при x < 0 — сумму двух убывающих функций, то есть сама является убывающей функцией. Значит, минимум функции f(x) достигается в точке x = 0.

Уравнение f(x) = 0 будет иметь корни, если минимум области значений левой части будет не больше нуля. Тогда достаточным условием существования корней является неравенство f(0) ≤ 0:

$20\lg{10}+a^2-3|-4a|\leq 0\\|a|^2-12|a|+20\leq 0\\(|a|-2)(|a|-10)\leq 0\\2\leq |a|\leq 10\\a\in[-10,-2]\cup[2,10]$

Answer 2

Для нахождения всех значений параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, мы можем рассмотреть различные случаи для |x| и |x-4a|.

Уравнение:

20lg(x² + 10) + a² + 8·|x| = 4x + 3·|x - 4a|

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ 0 и x - 4a ≥ 0, то оба модуля равны сами себе, и у нас есть следующее уравнение:

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = 4x + 3(x - 4a)

   Раскроем скобки и упростим:

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = 4x + 3x - 12a

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = 7x - 12a

   Теперь выразим x:

   20lg(x² + 10) + a² = -x + 7x - 12a

   20lg(x² + 10) + a² = 6x - 12a

   Теперь мы видим, что x может быть любым числом, и уравнение всегда будет иметь решение. Поэтому этот случай не ограничивает a.

2. Если x ≥ 0, но x - 4a < 0, то модуль |x - 4a| становится -(x - 4a), и у нас есть следующее уравнение:

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = 4x + 3(-(x - 4a))

   Раскроем скобки и упростим:

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = 4x - 3x + 12a

   20lg(x² + 10) + a² + 8x = x + 12a

   Теперь выразим x:

   20lg(x² + 10) + a² = x - 8x + 12a

   20lg(x² + 10) + a² = -7x + 12a

   Таким образом, если -7x + 12a может быть положительным числом, то уравнение будет иметь хотя бы один корень. Мы видим, что a может быть любым числом, и это не ограничивает a.

Итак, уравнение имеет хотя бы один корень для любого значения параметра a.