Question

Вычислить интеграл верхний интеграл п нижний интеграл п/4 cos² x:2dx​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \displaystyle \int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, \frac{cos^2x}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\frac{1+cos2x}{2}\, dx=\frac{1}{4}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, (1+cos2x\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot \Big(x+\frac{1}{2}\, sin2x\Big)\Big|_{\pi /4}^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \Big(\pi +0-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{4}\cdot \Big(\frac{3\pi }{4}-\frac{1}{2}\Big)$

$2)\ \ \displaystyle \int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, cos^2\frac{x}{2}\, dx=\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\frac{1+cosx}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_{\pi /4}\, \Big(1+cosx\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big(x+sinx\Big)\Big|_{\pi /4}^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \Big(\pi +0-\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{3\pi }{4}-\frac{\sqrt2}{2}\Big)$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла сначала разобьем его на части и применим метод интегрирования по частям несколько раз.

Интеграл: ∫₀^(π/4) cos²(x/2) dx

Используем тригонометрическую идентичность для cos²(x/2):

cos²(x/2) = (1 + cos(x))/2

Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:

∫₀^(π/4) (1 + cos(x))/2 dx

Разделим интеграл на два:

(1/2) ∫₀^(π/4) (1 + cos(x)) dx

Теперь вычислим интегралы каждой из частей по отдельности:

1/2 ∫₀^(π/4) dx = (1/2) * [x] from 0 to π/4 = (1/2) * (π/4 - 0) = π/8

1/2 ∫₀^(π/4) cos(x) dx

Для вычисления этого интеграла, применим интегрирование по частям. Выберем u = cos(x) и dv = dx, тогда du = -sin(x) dx и v = x.

∫₀^(π/4) cos(x) dx = (1/2) * [x * cos(x)] from 0 to π/4 - (1/2) ∫₀^(π/4) x * (-sin(x)) dx

Теперь вычислим оба члена:

(1/2) * [(π/4) * cos(π/4) - 0 * cos(0)] - (1/2) ∫₀^(π/4) x * (-sin(x)) dx

(1/2) * [(π/4) * (sqrt(2)/2) - 0] + (1/2) ∫₀^(π/4) x * sin(x) dx

(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) ∫₀^(π/4) x * sin(x) dx

Теперь осталось вычислить оставшийся интеграл. Для этого снова применим интегрирование по частям, выбрав u = x и dv = sin(x) dx. Тогда du = dx и v = -cos(x).

(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * [(x * (-cos(x))) from 0 to π/4 - ∫₀^(π/4) (-cos(x)) dx

(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * [(π/4 * (-cos(π/4))) - (0 * (-cos(0))) - ∫₀^(π/4) (-cos(x)) dx

(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * [(π/4 * (-sqrt(2)/2)) - 0 - ∫₀^(π/4) (-cos(x)) dx

(π/8) * (sqrt(2)/2) - (π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) ∫₀^(π/4) cos(x) dx

Обратите внимание, что интеграл ∫₀^(π/4) cos(x) dx вновь встречается, но теперь с обратным знаком. Этот интеграл был рассчитан ранее:

(π/8) * (sqrt(2)/2) - (π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * [(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) ∫₀^(π/4) cos(x) dx]

Теперь сгруппируем подобные члены:

(π/8) * (sqrt(2)/2) - (π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * [(π/8) * (sqrt(2)/2) + (1/2) * (π/8) * (sqrt(2)/2)]

Теперь произведем вычисления:

(π/8) * (sqrt(2)/2) - (π/8) * (sqrt(2)/2) + (π/16) * (sqrt(2)/2) + (π/32) * (sqrt(2)/2)

Теперь сложим и упростим:

(π/32) * (2 * sqrt(2) - 4 * sqrt(2) + 1) = (π/32) * (-2 * sqrt(2) + 1)

Итак, окончательный ответ:

∫₀^(π/4) cos²(x/2) dx = π * (-sqrt(2) + 1) / 32