Question

Определить какой геометрический образ определяет каждое уравнение. Для окружности найти центр С и радиус R; для эллипса – центр С, полуоси, фокусы, эксцентриситетСделать рисунок в декартовой прямоугольной системе координат. 1) 2х²+у²–6у+10=0. 2) х²+2у²–2х+4у+3=0. 3) ху+3х–2у–6=0. 4) 9х²+100у²–900=0.

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ 2x^2+y^2-6y+10=0\\\\2x^2+(y-3)^2-9+10=0\\\\2x^2+(y-3)^2=-1\ \ \ \Rightarrow$

Заданное равенство не может выполняться ни при каких значениях "х" и "у" . Поэтому никакого геометрического образа это уравнение не определяет .

$2)\ \ x^2+2y^2-2x+4y+3=0\\\\(x-1)^2-1+2((y+1)^2-1)=-3\\\\(x-1)^2+2(y+1)^2=0$

Заданное уравнение определяет на плоскости точку с

координатами ( 1 ; -1 ) .

$3)\ \ xy+3x-2y-6=0\\\\x(y+3)=2y+6\\\\x(y+3)=2(y+3)\\\\x=2\ \ ,\ \ y\ne -3$

Заданное уравнение определяет на плоскости прямую  х=2  c выколотой точкой  ( 2 ; -3 ) .

$4)\ \ 9x^2+100y^2-900=0\\\\9x^2+100y^2=900\\\\\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{9}=1\\\\centr\ ellipsa\ C(0;0)\ \ ,\ \ a=10\ \ ,\ \ b=3\ \ ,\\\\c^2=a^2-b^2=100-9=91\ \ ,\ \ c=\sqrt{91}\\\\F_1(-\sqrt{91}\ ;\ 0\ )\ \ ,\ \ F_2(\sqrt{91}\ ;\ 0\ )\\\\e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{91}}{10}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из уравнений и определим их геометрический образ.

1. Уравнение: 2x² + y² - 6y + 10 = 0

Для определения геометрического образа этого уравнения сначала перепишем его в стандартной форме окружности:

x² + (y² - 6y) + 10 - 10 = 0 x² + (y² - 6y + 9) - 10 + 9 = 0 x² + (y - 3)² = 1

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме: (x - h)² + (y - k)² = r², где (h, k) - центр окружности, а r - радиус.

Сравнивая это уравнение с нашим, мы видим, что центр окружности находится в точке (h, k) = (0, 3), а радиус r = 1. Таким образом, геометрический образ этого уравнения - окружность с центром в точке (0, 3) и радиусом 1.

2. Уравнение: x² + 2y² - 2x + 4y + 3 = 0

Давайте перепишем его в стандартной форме эллипса:

x² - 2x + y² + 4y + 3 = 0 (x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) - 1 - 4 + 3 = 0 (x - 1)² + (y + 2)² = 2

Теперь у нас есть уравнение эллипса в стандартной форме: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, где (h, k) - центр эллипса, а a и b - полуоси.

Сравнивая это уравнение с нашим, мы видим, что центр эллипса находится в точке (h, k) = (1, -2), а полуоси a = √2 и b = √2. Таким образом, геометрический образ этого уравнения - эллипс с центром в точке (1, -2), полуосями √2 и фокусами.

3. Уравнение: xy + 3x - 2y - 6 = 0

Это уравнение не имеет простой геометрической интерпретации, так как оно содержит произведение x и y, что не соответствует стандартным формам геометрических фигур, таким как окружность или эллипс.

4. Уравнение: 9x² + 100y² - 900 = 0

Давайте перепишем его в стандартной форме эллипса:

9x² + 100y² - 900 = 0 (x²/100) + (y²/9) - 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение эллипса в стандартной форме: (x²/a²) + (y²/b²) = 1, где a и b - полуоси.

Сравнивая это уравнение с нашим, мы видим, что полуоси a = 10 и b = 3. Таким образом, геометрический образ этого уравнения - эллипс с центром в начале координат, полуосями 10 и 3.

Теперь мы определили геометрический образ каждого из уравнений, и для некоторых из них мы нашли соответствующие параметры (центры, полуоси, фокусы и т. д.).