Question

Решите неравенства методом интервалов: а) (9x - 3x2)(x2 - 9) < 0 б) 3x-10/x-5 ≤ 8

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

А) (9x - 3x^2)(x^2 - 9) < 0

Разложим на множители:

3x*(3 - x)(x - 3)(x + 3) < 0

Поменяем знаки в скобке (3 - x), при этом вперёд выносим минус:

-3x*(x + 3)(x - 3)(x - 3) < 0

Убираем этот минус, при этом меняется знак неравенства:

3x*(x + 3)(x - 3)^2 > 0

При x = 3 выражение слева равно 0.

Нам это не подходит, поэтому x ≠ 3.

При любом другом x будет (x - 3)^2 > 0, поэтому его можно не учитывать.

На 3 можно разделить, при этом знак неравенства не меняется.

Получаем систему условий:

{ x ≠ 3

{ x*(x + 3) > 0

По методу интервалов у нас есть две точки: -3 и 0.

Решение второго неравенства такое:

x принадлежит (-oo; -3) U (0; +oo)

С учётом первого неравенства

Ответ: x принадлежит (-oo; -3) U (0; 3) U (3; +oo)

Б) (3x - 10)/(x - 5) ≤ 8

Переносим 8 влево и приводим к общему знаменателю.

Цель: оставить справа 0.

Внимание! Просто так умножить 8 на (x - 5) НЕЛЬЗЯ!

(3x - 10)/(x - 5) - 8 ≤ 0

(3x - 10 - 8(x - 5)) / (x - 5) ≤ 0

(3x - 10 - 8x + 40)/(x - 5) ≤ 0

(30 - 5x)/(x - 5) ≤ 0

Поменяем знаки в скобке (30 - 5x) и вынесем 5 за скобки.

При этом поменяется знак неравенства.

5(x - 6)/(x - 5) ≥ 0

По методу интервалов у нас две точки: 5 и 6.

При этом x ≠ 5, но может быть = 6.

Ответ: x принадлежит (-oo; 5) U [6; +oo)

Answer 2

а) Давайте начнем с решения неравенства (9x - 3x^2)(x^2 - 9) < 0.

1. Сначала найдем корни уравнения, соответствующего неравенству: 9x - 3x^2 = 0 3x(3 - x) = 0 x = 0 и x = 3

   x^2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 x = -3 и x = 3

2. Теперь мы знаем точки разрыва функции (0, -3, и 3), и мы можем создать интервалы на числовой оси.

   Интервал 1: x < -3 Интервал 2: -3 < x < 0 Интервал 3: 0 < x < 3 Интервал 4: x > 3

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак произведения на каждом интервале:

   Для интервала 1 (x < -3), выберем x = -4: (9*(-4) - 3*(-4)^2)(-4^2 - 9) = (-36 - 48)(16 - 9) = (-84)(7) < 0 (отрицательное)

   Для интервала 2 (-3 < x < 0), выберем x = -1: (9*(-1) - 3*(-1)^2)(-1^2 - 9) = (-9 - 3)(1 - 9) = (-12)(-8) > 0 (положительное)

   Для интервала 3 (0 < x < 3), выберем x = 1: (91 - 31^2)(1^2 - 9) = (9 - 3)(1 - 9) = (6)(-8) < 0 (отрицательное)

   Для интервала 4 (x > 3), выберем x = 4: (94 - 34^2)(4^2 - 9) = (36 - 48)(16 - 9) = (-12)(7) < 0 (отрицательное)

4. Теперь мы видим, что знаки произведений меняются чередующимся образом (отрицательное, положительное, отрицательное, отрицательное) по интервалам. Неравенство "< 0" означает, что произведение должно быть отрицательным. Это выполняется только на интервалах, где знаки произведения отрицательные.

Ответ: Решением неравенства (9x - 3x^2)(x^2 - 9) < 0 являются интервалы: (-3, 0) и (3, +∞).

б) Теперь рассмотрим неравенство (3x - 10)/(x - 5) ≤ 8.

1. Сначала найдем корень уравнения в знаменателе: x - 5 = 0 x = 5

   Обратите внимание, что это точка разрыва функции, и мы должны исключить ее из диапазона допустимых значений.

2. Создадим интервалы на числовой оси:

   Интервал 1: x < 5 Интервал 2: x > 5

3. Рассмотрим каждый интервал по отдельности:

   Для интервала 1 (x < 5): Выберем x = 4: (3*4 - 10)/(4 - 5) = (12 - 10)/(-1) = 2/(-1) = -2 < 8 (истинное)

   Для интервала 2 (x > 5): Выберем x = 6: (3*6 - 10)/(6 - 5) = (18 - 10)/1 = 8 < 8 (ложное)

4. Таким образом, неравенство выполняется только на интервале 1 (x < 5).

Ответ: Решением неравенства (3x - 10)/(x - 5) ≤ 8 является интервал (-∞, 5).