Question

Докажите, что ABCD — квадрат, если А(–2; –3; 5), В(0; 2; –9), С(10; 12; –4), D(8; 7; 10).

Answer 1

Чтобы доказать что АВСD - квадрат, достаточно показать, что:

1. Противоположные стороны параллельны

2. Все стороны равны.

3. Угол между хотя бы двумя смежными сторонами - прямой

1. Найдем векторы АВ, ВС, СD, DA

АВ (3 - 1 = 2, -5+2 = -3, 2+4=6) = (2, -3, 6)

BC(6-3=3, 1+5=6, 4-2=2) = (3, 6, 2)

CD(-2, 3, -6)

DA(-3, -6, -2)

2. Проверим АВ || CD и BC || AD. Для этого воспользуемся тем, что координаты параллельных векторов пропорциональны.

2/-2 = -3/3 = 6/-6 = -1 -> АВ || CD

3/-3 = 6/-6 = 2/-2 = -1 -> BC || AD

3. Проверим АВ = ВС = СD = DA

AB = sqrt(4 + 9 + 36) = sqrt(49) = 7

CD = sqrt(4 + 9 + 36) = 7

BC = sqrt(9 + 36 + 4) = 7

DA = sqrt(9 + 36 + 4) = 7

4. Проверим перпендикулярность хотя бы одного угла с помощью скалярного произведения векторов:

(AB,BC) = 2*3 - 3*6 + 6*2 = 0 -> АВ перпендикулярен BC

Ч. Т. Д.

Answer 2

Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, мы должны проверить, что все его стороны равны по длине, и углы между этими сторонами равны 90 градусов. Давайте начнем с вычисления длин сторон.

Длины сторон ABCD можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, которая выглядит следующим образом:

Для точек A и B: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Для точек B и C: BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)

Для точек C и D: CD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2 + (z4 - z3)^2)

Для точек D и A: DA = √((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2 + (z1 - z4)^2)

Подставим координаты точек:

AB = √((0 - (-2))^2 + (2 - (-3))^2 + (-9 - 5)^2) AB = √(2^2 + 5^2 + (-14)^2) = √(4 + 25 + 196) = √225 = 15

BC = √((10 - 0)^2 + (12 - 2)^2 + (-4 - (-9))^2) BC = √(10^2 + 10^2 + 5^2) = √(100 + 100 + 25) = √225 = 15

CD = √((8 - 10)^2 + (7 - 12)^2 + (10 - (-4))^2) CD = √((-2)^2 + (-5)^2 + (14)^2) = √(4 + 25 + 196) = √225 = 15

DA = √((-2 - 8)^2 + (-3 - 12)^2 + (5 - (-4))^2) DA = √((-10)^2 + (-15)^2 + (9)^2) = √(100 + 225 + 81) = √406 = 20.149

Как видно, длины сторон AB, BC, CD равны 15, а сторона DA равна приближенно 20.149. Это означает, что ABCD не является квадратом, так как не все его стороны равны.

Следовательно, ABCD не является квадратом.