Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x²+6x-5 , y=-1/3x-1/2 , x=1, x=4. ​

Answer 1

Объяснение:

$y=-x^2+6x-5\ \ \ \ y=\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} \ \ \ \ \ x=1\ \ \ \ \ x=4\ \ \ \ \ S=?\\S=\int\limits^4_1 (-x^2+6x-5-(\frac{1}{3}x -\frac{1}{2} ))dx=-\int\limits^4_1 {x^2} \, dx+\frac{17}{3}*\int\limits^4_1 {x} \, dx -4,5\int\limits^4_1 \, dx=\\=-\frac{x^3}{3}\ |_1^4+\frac{17}{3} *\frac{x^2}{2}\ |_1^4-4,5x\ |_1^4=-(\frac{4^3}{3}-\frac{1^3}{3})+\frac{17}{3} *(\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2})-4,5*(4-1)=\\=-21+42,5-13,5=8.$

Ответ: S=8 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями и вертикальными линиями x = 1 и x = 4, нам нужно сначала найти точки пересечения этих линий. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади между ними. Давайте начнем с нахождения точек пересечения линий.

У нас есть две функции:

1. y = -x² + 6x - 5
2. y = (-1/3)x - 1/2

Для нахождения точек пересечения, мы можем приравнять эти две функции:

-x² + 6x - 5 = (-1/3)x - 1/2

Для упрощения умножим обе стороны уравнения на 6 (чтобы избавиться от дробей):

-6x² + 36x - 30 = -2x - 3

Теперь приведем все члены к одной стороне уравнения:

-6x² + 36x - 30 + 2x + 3 = 0

-6x² + 38x - 27 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем начать с деления обеих сторон на -1:

6x² - 38x + 27 = 0

Далее, используем квадратное уравнение, чтобы найти значения x:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 6, b = -38 и c = 27. Подставим эти значения:

x = (38 ± √((-38)² - 4 * 6 * 27)) / (2 * 6)

Теперь вычислим значение под корнем:

D = (-38)² - 4 * 6 * 27 = 1444 - 648 = 796

x = (38 ± √796) / 12

x = (38 ± 2√199) / 12

Теперь найдем два значения x, которые являются точками пересечения:

1. x₁ = (38 + 2√199) / 12
2. x₂ = (38 - 2√199) / 12

Теперь, когда у нас есть значения x₁ и x₂, мы можем найти соответствующие значения y, подставив их в уравнения линий.

1. Для x₁: y₁ = -x₁² + 6x₁ - 5

2. Для x₂: y₂ = -x₂² + 6x₂ - 5

Теперь мы можем вычислить площадь между этими точками, используя интеграл:

Площадь = ∫[x₁, x₂] (y₁ - y₂) dx

Вычислим значения y₁ и y₂:

y₁ = -x₁² + 6x₁ - 5 y₂ = -x₂² + 6x₂ - 5

Теперь мы можем вычислить интеграл:

Площадь = ∫[x₁, x₂] (y₁ - y₂) dx Площадь = ∫[x₁, x₂] ((-x₁² + 6x₁ - 5) - (-x₂² + 6x₂ - 5)) dx

Теперь, когда у нас есть значения x₁, x₂, y₁ и y₂, мы можем вычислить интеграл численно, чтобы найти площадь между этими двумя кривыми. Это может быть сделано с использованием калькулятора или программы для численного интегрирования.