Question

6. Розв'яжіть нерівність х2 - 2x – 15 < 0​

Answer 1

${x}^{2} - 2x - 15 < 0 \\ \\ \\ {x}^{2} + 3x - 5x - 15 < 0 \\ \\ \\ x \times (x + 3) - 5\times (x + 3) < 0\\ \\ \\ (x + 3) \times (x - 5) < 0 \\ \\ \\ x + 3 > 0 \\ x - 5 < 0 \\ \\ \\ x > - 3. \\ x < 5 \\ \\ \\ - 3 < x < 5.$

Ответ:

x € ( -3; 5 ).

Answer 2

Щоб розв'язати дану квадратну нерівність, спробуємо знайти інтервали, на яких вона виконується. Для цього спростимо нерівність і знайдемо корені квадратного рівняння, яке виникає при рівності лівої частини нулю:

x^2 - 2x - 15 = 0

Спростимо це рівняння шляхом факторизації:

(x - 5)(x + 3) = 0

Знаходимо корені:

x - 5 = 0 => x = 5 x + 3 = 0 => x = -3

Тепер ми знаємо, що дана нерівність має нульові точки при x = 5 і x = -3. Тепер розділімо вісь x на три інтервали за цими точками: (-∞, -3), (-3, 5), і (5, ∞).

Тепер виберемо по одній точці з кожного інтервалу і підставимо їх у початкову нерівність (наприклад, x = 0, x = -4 і x = 6):

1. Для інтервалу (-∞, -3): При x = 0: 0^2 - 2*0 - 15 = -15 < 0

2. Для інтервалу (-3, 5): При x = -4: (-4)^2 - 2*(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0

3. Для інтервалу (5, ∞): При x = 6: 6^2 - 2*6 - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0

Тепер перевіримо знак нерівності на кожному інтервалі:

1. На інтервалі (-∞, -3) нерівність виконується: x^2 - 2x - 15 < 0.
2. На інтервалі (-3, 5) нерівність не виконується: x^2 - 2x - 15 > 0.
3. На інтервалі (5, ∞) нерівність виконується: x^2 - 2x - 15 < 0.

Отже, розв'язок нерівності -∞ < x < -3 або 5 < x < ∞.