Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА 5. Розв'язати рівняння: 2х^2006 + 3x^2008 + 4x^2010 + 5х^2012 + 6х^2014 + 7x^2016 + 8x^2018 + 9х^2020 = 44х​

Answer 1

$2x^{2006}+3x^{2008} + 4x^{2010} + 5x^{2012} + 6x^{2014} + 7x^{2016} + 8x^{2018} + 9x^{2020} = 44x$

Заметим, что при $x=0$ левая и правая часть уравнения обращается в 0. Значит, число 0 является корнем этого уравнения.

$\boxed{x_1=0}$

Предположим, что $x\neq 0$. Тогда, мы можем разделить обе части равенства на $x$. Получим:

$2x^{2005}+3x^{2007} + 4x^{2009} + 5x^{2011} + 6x^{2013} + 7x^{2015} + 8x^{2017} + 9x^{2019} = 44$

Рассмотрим левую часть.

Вспомним, что функция вида $y=x^{2n+1},\ n\in\mathbb{N}$ является возрастающей на всей области определения, то есть на множестве действительных чисел. Тогда и функция $y=kx^{2n+1},\ k>0$ является возрастающей. Сумма возрастающих функций также является возрастающей.

Применительно к данному уравнению можно записать: функции $x^{2005}$, $x^{2007}$, ..., $x^{2019}$ возрастают, тогда и функции $2x^{2005}$, $3^{2007}$, ..., $9x^{2019}$ также возрастают, а значит возрастает и их сумма.

Таким образом, функция $y=2x^{2005}+3x^{2007} + 4x^{2009} + 5x^{2011} + 6x^{2013} + 7x^{2015} + 8x^{2017} + 9x^{2019}$ возрастает. Это означает, что каждое свое значение она принимает только в одной точке.

Следовательно, уравнение $2x^{2005}+3x^{2007} + 4x^{2009} + 5x^{2011} + 6x^{2013} + 7x^{2015} + 8x^{2017} + 9x^{2019} = 44$ может иметь не более одного решения.

Решение уравнения легко подбирается: $x=1$. Действительно, сумма коэффициентов в левой части уравнения равна 44:

$2+3+4+5+6+7+8+9= 44$

$\Rightarrow \boxed{x_2=1}$

В силу сказанного выше, других корней у уравнения нет.

Ответ: 0; 1

Answer 2

Це рівняння має великий степінь (2006-2020), і його розв'язання може бути досить складним. Але ви можете спростити його, поділивши обидві сторони на x^2006, щоб зменшити ступінь:

2x^2006/x^2006 + 3x^2008/x^2006 + 4x^2010/x^2006 + 5x^2012/x^2006 + 6x^2014/x^2006 + 7x^2016/x^2006 + 8x^2018/x^2006 + 9x^2020/x^2006 = 44x/x^2006

Тепер спростимо це:

2 + 3x^2 + 4x^4 + 5x^6 + 6x^8 + 7x^10 + 8x^12 + 9x^14 = 44/x^2005

Тепер можна спростити ще далі, замінивши x^2 на якусь іншу змінну, наприклад, t:

2 + 3t + 4t^2 + 5t^3 + 6t^4 + 7t^5 + 8t^6 + 9t^7 = 44/t^1002

Тепер це рівняння виглядає краще. Ви можете спробувати розв'язати його, знаходячи корені, або використовуючи чисельні методи для знаходження наближених значень коренів. Розв'язати це рівняння аналітично може бути дуже складно через велику степінь і змішані члени, тому чисельні методи можуть бути більш практичними для розв'язання такого рівняння.