Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=√(-x^2+10x−9)−3 на промежутке [3; 9]

Answer 1

Прикрепляю фото с решением

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = \sqrt{-x^2 + 10x - 9} - 3$ на промежутке $[3, 9]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции $f(x)$ внутри интервала $[3, 9]$. Это происходит, когда производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.
2. Найдем значения $f(x)$ на концах интервала, то есть при $x = 3$ и $x = 9$.
3. Сравним все найденные значения функции и найдем наибольшее.

Начнем с нахождения критических точек:

$f(x) = \sqrt{-x^2 + 10x - 9} - 3$

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x + 10}{\sqrt{-x^2 + 10x - 9}}$

Теперь найдем критические точки, приравнивая $f'(x)$ к нулю:

$\frac{-2x + 10}{\sqrt{-x^2 + 10x - 9}} = 0$

Это происходит, когда $x = 5$. Однако, поскольку $f'(x)$ имеет разрыв в точке $x = 5$ (знаменатель обращается в ноль), эта точка не является критической.

Теперь найдем значения $f(x)$ на концах интервала:

1. При $x = 3$:

$f(3) = \sqrt{-(3)^2 + 10(3) - 9} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 0$

2. При $x = 9$:

$f(9) = \sqrt{-(9)^2 + 10(9) - 9} - 3 = \sqrt{72} - 3$

Так как $\sqrt{72} > 3$, то $\sqrt{72} - 3 > 0$.

Итак, наибольшее значение функции $f(x) = \sqrt{-x^2 + 10x - 9} - 3$ на интервале $[3, 9]$ равно $\sqrt{72} - 3$.