Question

Помогите Докажите что при всех значениях a b и c значение выражения:3с(а+b-c)+3b(a-b-c)-3a(a+b+c) меньше числа 2/3​

Answer 1

3с(а+b-c)+3b(a-b-c)-3a(a+b+c) < 2/3​

3аc+3bc-3с²+3ab-3b²-3bc -3a²-3ab-3ac = -3c²-3a²-3b²= -3(a²+b²+c²)

получившееся выражение  -3(a²+b²+c²) < 0 при любых значениях

переменных a,b,c. Следовательно   -3(a²+b²+c²) < 2/3​.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение 3c(a+b-c) + 3b(a-b-c) - 3a(a+b+c) и попробуем упростить его:

1. Раскроем скобки: $3ca + 3cb - 3c^2 + 3ba - 3b^2 - 3bc - 3a^2 - 3ab - 3ac.$

2. Сгруппируем по переменным: $(-3c^2 - 3b^2 - 3a^2) + (3ca - 3ab - 3ac) + (3cb - 3bc) = -3(a^2 + b^2 + c^2) - 3ab - 3ac + 3bc.$

3. Умножим все члены на -1 для упрощения: $3(a^2 + b^2 + c^2) + 3ab + 3ac - 3bc.$

4. Рассмотрим каждый член по отдельности:

   • $3(a^2 + b^2 + c^2)$ является неотрицательным числом, так как квадрат числа всегда неотрицателен.
   • $3ab$ и $3ac$ также неотрицательны, так как произведение положительных чисел положительно.
   • $-3bc$ - отрицательный член.

Теперь, мы видим, что выражение $3(a^2 + b^2 + c^2) + 3ab + 3ac - 3bc$ не может быть меньше 0.

Таким образом, $3c(a+b-c) + 3b(a-b-c) - 3a(a+b+c) \geq 0.$

Теперь вспомним, что мы искали значение выражения при всех значениях $a, b$ и $c$, для которых $3c(a+b-c) + 3b(a-b-c) - 3a(a+b+c) < \frac{2}{3}.$

Так как $3c(a+b-c) + 3b(a-b-c) - 3a(a+b+c) \geq 0$, то не существует значений $a, b$ и $c$, при которых выражение меньше 0.

Таким образом, утверждение, что выражение $3c(a+b-c) + 3b(a-b-c) - 3a(a+b+c)$ меньше $\frac{2}{3}$ при всех значениях $a, b$ и $c$, является ложным.