Question

Действительные числа x, y, z, t таковы, что x+y = −3, xy+yz+zx = −4, xyz+yzt+ + ztx + txy = 14, xyzt = 30. Найдите значение выражения x^2 + y^2 + z^2 + t^2

Answer 1

Ответ: значение выражения x² + y² + z² + t² = 35,25.

Объяснение:

Требуется найти значение выражения x² + y² + z² + t², где x, y, z, t - числа, которые являются решением системы уравнений

$\begin{cases} x+y=-3 \\ xy+yz+zx=-4 \\ xyz+yzt+ztx+txy=14 \\ xyzt=30 \end{cases}$

РЕШЕНИЕ:

Второе уравнение системы умножим на (-t) и добавим к третьему уравнению системы:

xy + yz + zx = -4 | · (-t)

-xyt - yzt - zxt = 4t

-xyt - yzt - zxt + xyz + yzt + ztx + txy = 14 +4t

 xyz  = 14 +4t

Получили выражение произведения  xyz  через t. Подставим его в четвертое уравнение системы.

(14 +4t)t = 30

14t +4t² - 30 = 0

Решим полученное квадратное уравнение.

D = b² - 4ac = (14)² - 4 · 4 · (-30) = 196 + 480 = 676

$\sqrt{D} =26$

$\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-14-26}{2*4} =\frac{-40}{8}=-5$

$\displaystyle t_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-14+26}{2*4}=\frac{12}{8}=1,5$

Отсюда,

при t₁ = -5 ⇒ xyz = 30 : (-5) = -6;

при t₂ = 1,5 ⇒ xyz = 30 : 1,5 = 20.

Первое уравнение системы умножим на (-z) и добавим ко второму уравнению:

x + y = -3 | · (-z)

-zx - zy = 3z

-zx - zy + xy + yz + zx = 3z - 4

xy  = 3z - 4

Полученное значение выражения ху подставим в найденные выше равенства.

1) если xyz = -6 ⇒ (3z - 4)z = - 6

3z² - 4z +6 = 0

Решим данное квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 3 · 6 = 16 - 72 = -56 < 0 - уравнение корней не имеет. Тогда и t₁ - не является решением системы.

2) если xyz = 20 ⇒ (3z - 4)z = 20

3z² - 4z - 20 = 0

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 3 · (-20) = 16 + 240 = 256

$\sqrt{D} =16$

$\displaystyle z_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{4-16}{2*3} =\frac{-12}{6}=-2$

$\displaystyle z_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{4+16}{2*3} =\frac{20}{6}=3\frac{2}{6}=3\frac{1}{3}$

Тогда

при z₁ = -2 ⇒ xy = 20 : (-2) = -10;

при z₂ = $3\frac{1}{3}$ ⇒ $\displaystyle xy =20:3\frac{1}{3}= 20:\frac{10}{3}= 20*\frac{3}{10}=6$

Из первого уравнения системы выразим х через у:

х = - 3 - у

Подставим в предыдущие выражения.

1) (- 3 - у)y = -10

-3у - у² + 10 = 0

Решим полученное уравнение.

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 ·  (-1) · 10 = 9 + 40 = 49

$\sqrt{D} =7$

$\displaystyle y_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{3-7}{2*\\(-1)} =\frac{-4}{-2}=2$

$\displaystyle y_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{3+7}{2*(-1)} =\frac{10}{-2}=-5$

То есть

при y₁ = 2 ⇒ x = -3 - 2 = -5

при y₂ = -5 ⇒ x = -3 - (-5) = 2

2) (- 3 - у)y = 6

-3у - у² - 6 = 0

Решим полученное уравнение.

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 ·  (-1) · (-6) = 9 - 24 = -15 < 0 - уравнение корней не имеет. Тогда и z₂ - не является решением системы.

Исходя из вычислений система уравнений имеет 2 решения:

$\begin{cases} x=2 \\ y= -5 \\ z =-2 \\ t=1,5 \end{cases}$

или

$\begin{cases} x=-5 \\ y= 2 \\ z =-2 \\ t=1,5 \end{cases}$

Нужно было найти значение выражения x² + y² + z² + t². Так как полученные решения системы уравнений различаются порядком следования переменных, то это не повлияет на сумму их квадратов.

x² + y² + z² + t² =  5² + 2² + 2² + 1,5² = 35,25

Answer 2

Давайте разберемся с этой системой уравнений:

1. $x + y = -3$
2. $xy + yz + zx = -4$
3. $xyz + yzt + ztx + txy = 14$
4. $xyzt = 30$

Давайте решим эту систему шаг за шагом:

Из уравнения (1) выразим $y$ через $x$:

$y = -3 - x$ (1a)

Теперь подставим это во второе уравнение:

$x(-3 - x) + z(-3 - x) + zx = -4$
$-3x - x^2 - 3z - xz + zx = -4$
$-x^2 - z^2 - xz = 1$ (2a)

Теперь подставим $y = -3 - x$ и $z = -3 - x$ в третье уравнение:

$$\begin{align*} x(-3 - x)(-3 - x) + (-3 - x)t(-3 - x) + (-3 - x)tx + t(-3 - x)(-3 - x) &= 14 \\ -3x^2 - 3tx - x^2t + 3xt - 3tx - t^2x + 3tx + 3t^2 + t^2x &= 14 \\ -4x^2 + 3t^2 &= 14 \end{align*}$$

$4x^2 - 3t^2 = -14$ (3a)

Используем уравнение (4):

$xyzt = 30$

Подставим $y = -3 - x$, $z = -3 - x$, и $t = \frac{3x^2 + 14}{4}$:

$$x(-3 - x)(-3 - x)\left(-\frac{3}{4}x^2 - \frac{7}{2}x - \frac{7}{4}\right) = 30$$

$$-\frac{3}{4}x^5 + \frac{21}{4}x^4 + \frac{63}{4}x^3 + \frac{63}{4}x^2 - \frac{27}{2}x - \frac{63}{4} = 30$$

$$3x^5 - 42x^4 - 126x^3 - 126x^2 + 54x + 126 = 120$$

$$3x^5 - 42x^4 - 126x^3 - 126x^2 + 54x + 6 = 0$$

Теперь мы должны найти корни этого уравнения. Поскольку это пятое степенное уравнение, аналитическое решение может быть достаточно сложным. Мы можем воспользоваться численными методами для нахождения приближенных значений $x$. Из них мы сможем найти остальные переменные и, наконец, $x^2 + y^2 + z^2 + t^2$.