Question

Дослідіть функцію y=9x-x^3

Answer 1

x(9-x²)=x(3-x)(3+x) вот и ответ

Answer 2

Давайте дослідимо функцію $y = 9x - x^3$ шляхом аналізу її властивостей та графіку.

1. Знайдемо похідну функції $y$ по $x$.

   $y = 9x - x^3$

   Знайдемо похідну:

   $y' = \frac{d}{dx}(9x - x^3) = 9 - 3x^2$

2. Знайдемо точки екстремумів.

   Для знаходження точок екстремумів вирішимо рівняння $y' = 0$:

   $9 - 3x^2 = 0$

   Перенесемо $9$ на інший бік:

   $3x^2 = 9$

   Тепер поділимо обидві сторони на $3$:

   $x^2 = 3$

   Щоб знайти значення $x$, візьмемо квадратний корінь обох сторін:

   $x = \pm\sqrt{3}$

   Тобто, точки екстремуму розташовані при $x = -\sqrt{3}$ і $x = \sqrt{3}$.

3. Знайдемо значення $y$ в цих точках.

   Для $x = -\sqrt{3}$:

   $y = 9(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})^3 = -9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

   Для $x = \sqrt{3}$:

   $y = 9\sqrt{3} - (\sqrt{3})^3 = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

4. Знайдемо значення $y$ при $x$ дуже великих і дуже малих значеннях.

   Якщо $x$ наближається до додатніх або від'ємних нескінченостей, $x^3$ стає домінуючим членом, і функція може бути наближено записана як $y \approx -x^3$, або $y \approx x^3$ залежно від знаку $x$. Тобто, для дуже великих $x$ і дуже малих $-x$ значення $y$ наближаються до $-\infty$, а для дуже малих $x$ і дуже великих $-x$ значення $y$ наближаються до $+\infty$.

5. Побудуємо графік функції.

   Ось графік функції $y = 9x - x^3$:

   

   Як бачимо на графіку, функція має точки екстремуму в $x = -\sqrt{3}$ і $x = \sqrt{3}$ і досягає максимального значення $6\sqrt{3}$ при $x = \sqrt{3}$ та мінімального значення $-6\sqrt{3}$ при $x = -\sqrt{3}$