Question

При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння x^2+ax+a-2=0 буде найменшою​

Answer 1

пусть корни этого уравнения х₁ и х₂, сумму квадратов можем представить как  х₁² + х₂²=( х₁² + х₂²)+2х₁*х₂-2х₁*х₂= =(х₁+х₂)²-2х₁*х₂, (****)

по  Виету х₁+х₂=-а ,т.е. сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. а их произведение равно

х₁*х₂=а-2 - свободному члену с тем же знаком. подставим сумму и произведение в (****), получим  х₁² + х₂²=(х₁+х₂)²-2х₁*х₂=

а²-2*(а-2)=а²-2а+4=(а-1)²+3,  выделили полный квадрат.

это квадратичная функция, график которой - парабола, ветви ее направлены вверх, и вершина которой

имеет абсциссу, равную -b/2a=2/2=1; ордината равна 3, в точке  а=1  у  функции будет наименьшее значение, т.к. ниже вершины парабола не опускается, т.к. ветви направлены вверх,  и равно это наименьшее значение  трем.

Впрочем,  без графика тоже понятно, что наименьшее значение квадрата разности  достигается, когда ( а-1)²=0, т.к. все остальные значения будут положительными. это достигается при а=1, а равно это значение трем.

Ответ при а=1

Answer 2

Спростимо рівняння x^2 + ax + a - 2 = 0 до канонічного виду квадратного рівняння, а саме, завершимо квадратний бінімом для x:

x^2 + ax + a - 2 = 0 x^2 + ax + (a - 2) = 0

Для того, щоб завершити квадратний бінім, нам потрібно додати квадрат половини коефіцієнта a до обидвох боків рівняння:

x^2 + ax + (a - 2) + (1/2 * a)^2 - (1/2 * a)^2 = 0

Зараз ми маємо:

x^2 + ax + (a - 2) + (1/2 * a)^2 - (1/2 * a)^2 = 0 x^2 + ax + (a - 2) + (1/2 * a)^2 = (1/2 * a)^2

Тепер ми можемо переписати ліву сторону рівняння у вигляді квадрату біному:

(x + (1/2 * a))^2 = (1/2 * a)^2 - (a - 2)

Тепер наша мета - знайти значення "a", при якому вираз (1/2 * a)^2 - (a - 2) буде найменшим. Для цього визначимо похідну від цього виразу по "a" і прирівняємо її до нуля:

d/dx [(1/2 * a)^2 - (a - 2)] = 0

Давайте розв'яжемо це рівняння:

a - 2a + 2 = 0 -a + 2 = 0 -a = -2 a = 2

Отже, найменше значення виразу (1/2 * a)^2 - (a - 2) буде досягнуте при a = 2.