Question

Найти точки экстремума функции y=x^4+8x^3+5

Answer 1

$y = x^4 +8x^3 + 5$

$y' = 4x^3 + 8\cdot 3x^2 = 4x^2\cdot (x + 6)$

в точке x=-6 функция имеет локальный минимум (в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^4 + 8x^3 + 5$, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти значения $x$ в точках, где производная равна нулю. Затем можно будет определить характер этих точек (минимум или максимум) с помощью второй производной.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$: $y' = 4x^3 + 24x^2$.

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $4x^3 + 24x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $4x^2$: $4x^2(x + 6) = 0$.

Теперь решим это уравнение для $x$:

1. $4x^2 = 0$ => $x = 0$.
2. $x + 6 = 0$ => $x = -6$.

Теперь у нас есть две кандидатские точки экстремума: $x = 0$ и $x = -6$.

Шаг 3: Для определения характера этих точек найдем вторую производную функции $y$: $y'' = 12x^2 + 48x$.

Теперь вычислим значения второй производной в точках $x = 0$ и $x = -6$:

Для $x = 0$: $y''(0) = 12(0)^2 + 48(0) = 0$.

Для $x = -6$: $y''(-6) = 12(-6)^2 + 48(-6) = 432 - 288 = 144$.

Теперь анализируем результаты:

1. В точке $x = 0$, где $y''(0) = 0$, нет четко выраженного минимума или максимума.
2. В точке $x = -6$, где $y''(-6) = 144 > 0$, функция имеет локальный минимум.

Итак, точка $(x, y)$ минимума функции $y = x^4 + 8x^3 + 5$ находится при $x = -6$. Чтобы найти соответствующее значение $y$, подставим $x = -6$ в исходную функцию:

$y = (-6)^4 + 8(-6)^3 + 5 = 1297$.

Таким образом, точка минимума функции находится в точке $(-6, 1297)$.