Question

Дана функция у=2sin 3x а)Найдите производную функции. б)Составьте уровнение касательной в точке х=π/3​

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

$y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

а)

$y=2\sin 3x$

$y'=2\cos 3x\cdot(3x)'=2\cos 3x\cdot3'=6\cos 3x$

б)

Находим значения функции и производной в точке касания:

$y\left(\dfrac{\pi }{3} \right)=2\sin\left(3\cdot\dfrac{\pi }{3} \right)=2\sin\pi =2\cdot0=0$

$y'\left(\dfrac{\pi }{3} \right)=6\cos\left(3\cdot\dfrac{\pi }{3} \right)=6\cos\pi =6\cdot(-1)=-6$

Составляем уравнение касательной:

$y_k=0-6\left(x-\dfrac{\pi }{3} \right)$

$y_k=-6x+2\pi$

Answer 2

а) Чтобы найти производную функции у = 2sin(3x), мы будем использовать правило дифференцирования синуса. Правило состоит в том, что производная sin(ax) равна a*cos(ax), где a - это коэффициент перед x. В данном случае a = 3. Таким образом:

у = 2sin(3x)

Производная:

у' = 2 * 3 * cos(3x)

у' = 6cos(3x)

б) Чтобы составить уравнение касательной к графику функции у = 2sin(3x) в точке x = π/3, нам нужно найти значение функции и её производной в этой точке.

Для x = π/3: у = 2sin(3 * π/3) = 2sin(π) = 0

Теперь найдем производную в точке x = π/3: у' = 6cos(3 * π/3) = 6cos(π) = -6

Теперь мы знаем значение функции (у = 0) и значение производной (у' = -6) в точке x = π/3. Уравнение касательной в точке (π/3, 0) имеет следующий вид:

y - y₁ = m(x - x₁)

Где (x₁, y₁) - это координаты точки, а m - это наклон (производная) касательной.

Подставляем значения: y - 0 = -6(x - π/3)

y = -6(x - π/3)

Это уравнение является уравнением касательной к графику функции у = 2sin(3x) в точке x = π/3.