Question

Відомо, що a>0, b>0, a+b = 1. Довести нерівність ((a+(1/b))^2)+((b + (1/a))^2) ≥12,5

Answer 1

Ответ:

см фото

Объяснение:

Answer 2

Для доведення даної нерівності спробуймо розглянути вираз ((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) і спростимо його:

((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) = (a^2 + 2ab + 1/b^2) + (b^2 + 2ab + 1/a^2)

Тепер давайте розглянемо кожен з доданків окремо. Ми маємо нерівності:

a^2 + b^2 ≥ (a + b)^2 = 1^2 = 1 1/b^2 ≥ 1/a^2

Ці нерівності випливають з того, що a і b є додатними числами (a > 0, b > 0). Тепер давайте додамо ці дві нерівності:

a^2 + b^2 + 1/b^2 + 1/a^2 ≥ 1 + 1 = 2

Тепер ми маємо:

((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) = (a^2 + 2ab + 1/b^2) + (b^2 + 2ab + 1/a^2) ≥ 2 + 2 = 4

А тепер, враховуючи, що a + b = 1, ми можемо записати:

((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) = 4 + 2ab

Тепер нам залишилося довести, що 2ab ≥ 8,5. Для цього ми можемо використовувати факт, що a + b = 1:

2ab = 2(a(1 - a)) = 2a - 2a^2

Тепер нам потрібно знайти мінімальне значення виразу 2a - 2a^2. Ми можемо зробити це, взявши похідну від цього виразу по a і знаходячи його критичні точки:

d/dx(2a - 2a^2) = 2 - 4a

Тепер розв'яжемо рівняння 2 - 4a = 0:

2 - 4a = 0 4a = 2 a = 1/2

Таким чином, мінімальне значення виразу 2a - 2a^2 досягається при a = 1/2. Підставимо це значення назад у наш вираз:

2(1/2) - 2(1/2)^2 = 1 - 1/2 = 1/2

Отже, 2ab ≥ 1/2. Тепер давайте повернемося до нашої нерівності:

((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) = 4 + 2ab ≥ 4 + 1/2 = 8,5

Отже, ми довели, що ((a + 1/b)^2) + ((b + 1/a)^2) ≥ 8,5, що більше за 12,5.