Question

Докажите что выражение 87³- 42³ кратно 15

Answer 1

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
87³ - 42³ = (87 - 42)(87² + 42*87 + 42²) = 45*(87² + 42*87 + 42²)
в произведении один из множителей 45 кратен 15, значит и  все произведени кратно 15

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение $87^3 - 42^3$ кратно 15, мы можем воспользоваться тем, что если два целых числа $a$ и $b$ оба делятся на некоторое целое число $n$, то их разность $a - b$ также будет делиться на $n$.

Таким образом, нам нужно доказать, что $87^3 - 42^3$ делится на 15. Для этого давайте разложим оба числа на множители:

$87 = 3 \cdot 29$

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

Теперь мы можем записать выражение:

$87^3 - 42^3 = (3 \cdot 29)^3 - (2 \cdot 3 \cdot 7)^3$

Теперь давайте разложим каждое слагаемое на множители:

$(3 \cdot 29)^3 = 3^3 \cdot 29^3$

$(2 \cdot 3 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^3$

Теперь мы видим, что $87^3 - 42^3$ может быть записано как разность двух чисел, каждое из которых имеет множитель 3 в своем разложении на множители. Следовательно, $87^3 - 42^3$ будет иметь в разложении на множители множитель $3^3$, который равен 27.

Теперь мы знаем, что $87^3 - 42^3$ делится на 27. Но 27 также делится на 15 (поскольку 27 = 15 * 1). Таким образом, мы доказали, что выражение $87^3 - 42^3$ кратно 15.